第1章 第5节 二次函数与一元二次方程、不等式（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 Ⅰ.主干知识的再认再现 1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3．(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(人教B版必修①P75·T1改编)已知集合A＝{0,1,2,4}，B＝{x|x2－6x＋5<0}，则A∩B＝(　 ) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,4} C．{0,1} D．{2,4} 解析：选D　由题意得B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1<x<5}，∴A∩B＝{2,4}，故选D. 2．(苏教版必修①P69·T9改编)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是(　 ) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 解析：选B　不等式变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为m，－n，显然由m＋n>0得m>－n，所以不等式的解为－n<x<m. 3．(北师大版必修①P41·T1改编)不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________． 解析：由题意知－，是ax2＋bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系得则a＝－12，b＝－2.所以a＋b＝－14. 答案：－14 4．(人教A版必修①P58·T6改编)若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：由题意有4a2－4×18<0，可得－3<a<3. 答案：(－3，3) 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(忽视二次项的符号)不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为(　 ) A. B． C．[2，＋∞) D． 解析：选B　由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为. 2．(忽视对含参二次项系数的讨论)若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2] 解析：选C　原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；当m≠2时，必须满足解得－2＜m＜2.综上知实数m的取值范围是(－2,2]． Ⅲ.微点知能的优化拓展 1．掌握分式不等式与整式不等式的变形 (1)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)． (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 2．避免3种失误 (1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运用，对参数分类时要做到不重不漏． (2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论． (3)当Δ<0时，注意区分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R还是∅. 考法一　一元二次不等式的解法 角度1　解不含参一元二次不等式 [例1]　(1)不等式－2x2＋x＋3<0的解集为(　 ) A.　 B．(－∞，－1)∪ C. D．∪(1，＋∞) (2)不等式≤1的解集为________． [解析]　(1)－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0，所以x<－1或x>. (2)由不等式≤1，可得－1＝≤0，结合分式不等式的解法，可得－2<x≤3，即不等式≤1的解集为(－2,3]． [答案]　(1)B　(2)(－2,3] [方法技巧]　解一元二次不等式的4个步骤 角度2　解含参一元二次不等式 [例2]　解关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0. [解]　∵x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0，∴(x－2a)[x－(a＋1)]>0， 令f(x)＝(x－2a)[x－(a＋1)]， 则f(x)的图象开口向上，且与x轴交点横坐标分别为2a，a＋1. ①