第1章 第4节 基本不等式（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第四节　基本不等式 Ⅰ.主干知识的再认再现 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．三个重要的不等式 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(苏教版必修①P62·T8改编)设a＞0，则9a＋的最小值为(　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选C　9a＋≥2＝6.当且仅当9a＝，即a＝时等号成立． 2．(北师大版必修①P31·T7改编)矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是(　 ) A．4 B． C. D．2 解析：选B　依题意可得a，b＞0，则6＝a＋2b≥2＝2·，当且仅当a＝2b时取等号．所以ab≤＝，即矩形面积的最大值为. 3．(苏教版必修①P61·T1改编)(多选)若x≥y，则下列不等式中正确的是(　 ) A．3x≥3y B．≥ C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xy 解析：选AD　由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有3x≥3y，故A正确；当0＞x≥y时，≥不成立，故B错误；当0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，即x2＋y2≥2xy成立，故D正确． 4．(人教A版必修①P48·T1(2)改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________． 解析：因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝·2x·(3－2x)≤2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号． 答案： 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(应用基本不等式忽略“正”)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________． 解析：因为x<0，所以y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋－≥1＋2＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故y的最小值为1＋2. 答案：1＋2 2．(连续使用基本不等式时忽略等号成立的一致性)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________． 解析：∵x>0，y>0，∴>0. ∵x＋2y＝5， ∴＝＝＝2＋≥2＝4， 当且仅当2＝时取等号． ∴的最小值为4. 答案：4 Ⅲ.微点知能的优化拓展 1．灵活应用两个基本不等式的变形公式 (1)＋≥2(a，b同号，当且仅当a＝b时，等号成立)； (2)≤≤≤ (a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时等号成立． 2．谨防2个失误点 (1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等式的条件必须相同，否则会造成错误． (2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值． 考法一　利用基本不等式求最值 方法1　拼凑法 [例1]　(1)已知0<x<，则函数y＝x(1－2x)的最大值是(　 ) A. B． C. D． (2)已知函数f(x)＝(x<－1)，则(　 ) A．f(x)有最小值4 B．f(x)有最小值－4 C．f(x)有最大值4 D．f(x)有最大值－4 [解析]　(1)∵0<x<，∴1－2x>0，∴y＝x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤×2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立，因此，函数y＝x(1－2x)的最大值为. (2)f(x)＝＝＝－＝－＝－(x＋1)＋＋2. 因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，所以f(x)≥2＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时等号成立．故f(x)有最小值4. [答案]　(1)C　(2)A [方法技巧] 拼凑法求最值的关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．　　 方法2　常数代换法 [例2]　(1)已知实数x>0，y>0满足x＋y＝xy，则x＋4y的最小值为(　 ) A．8 B．9 C．7 D．10 (2)(2023·济宁高三月考)若a>0，b>0,3a＋2b＝6，则＋的最小值为(　 ) A．6 B．5 C．4 D．3 [解析]　(1)由题设，＋＝1，所以x＋4y＝(x＋4y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当x＝3，y＝时等号成立，所以x＋4y的最小值为9. (2)因为a>0，b>0,3a＋2b＝6，所以＋＝(3a