第2章 第1节 函数的概念及其表示（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第二章 | 函　数 第一节　函数的概念及其表示 Ⅰ.主干知识的再认再现 1．函数的有关概念 (1)函数的概念 前提 集合A，B是两个非空的实数集 对应关系 对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A (2)构成函数的三要素 定义域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 三要素 定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素 (3)表示函数的常用方法 解析法 一般情况下，必须注明函数的定义域 列表法 选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征 图象法 注意定义域对图象的影响：与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点 2.分段函数 定义 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 相关概念 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交 Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(苏教版必修①P115·T4改编)在下列图形中，能表示函数关系y＝f(x)的是(　 ) 答案：D 2．(北师大版必修①P59·T3(3)改编)设f(x)＝则f(5)的值为(　 ) A．16 B．18 C．21 D.24 答案：B 3．(苏教版必修①P107·T6改编)函数f(x)＝＋ 的定义域是________． 答案：(－4,4] 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(误认为f(g(x))与f(h(x))中“x”的含义相同)已知f(x2－1)的定义域为[0,3]，则f(2x－1)的定义域是(　 ) A. B． C. D. 解析：选B　∵f(x2－1)的定义域为[0,3]，∴0≤x≤3，∴－1≤x2－1≤8，即f(x)的定义域为[－1,8]．∴在f(2x－1)中－1≤2x－1≤8，∴0≤x≤，即函数f(2x－1)的定义域为. 2．(忽视新元的范围致误)若f(2x)＝4x－2x，则f(x)＝________. 解析：由题意，f(2x)＝4x－2x＝(2x)2－2x，设t＝2x>0，则f(t)＝t2－t，t>0，所以f(x)＝x2－x，x>0. 答案：x2－x(x>0) 3．(忽视自变量的范围致误)设函数f(x)＝ 则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为__________． 解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1.当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x∈(－∞，－2]∪[0,10]． 答案：(－∞，－2]∪[0,10] Ⅲ.微点知能的优化拓展 1．求函数的定义域时，需掌握的几个常用结论 (1)分式型要满足f(x)≠0； (2)根式型(n∈N*)要满足f(x)≥0； (3)[f(x)]0要满足f(x)≠0； (4)对数型logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0； (5)正切型tan[f(x)]要满足f(x)≠＋kπ，k∈Z. 2．防范4个易错点 (1)求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化． (2)用换元法求值域或解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围． (3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围． (4)分段求解是解决分段函数的基本原则，已知函数值求自变量值时，易因忽略自变量的取值范围而出错． 考法一　求函数的定义域(自主练通) 1．函数f(x)＝＋(x－1)0的定义域为(　 ) A. B．∪(1，＋∞) C.∪(1，＋∞) D. 解析：选B　由已知得解得x>且x≠1，所以函数f(x)的定义域为∪(1，＋∞)，故选B. 2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是(　 ) A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D.(0,1) 解析：选D　因为f(x)的定义域为[0,2]，所以要使f(2x)有意义，则有0≤2x≤2，即0≤x≤1，所以要使g(x)有意义，则有解得0<x<1. 3．(2023·牡丹江模拟)f(2x－1)的定义域为[0,1)，则f(1－3x)的定义域为(　 ) A．(－2,4] B． C. D. 解析：选C　因为0≤x<1，所以0≤2x<2，所以－1≤2x－1<1，所以f(x)的定义域为[－1,1)，由－1≤1－3