第2章 第2节 第3课时 函数性质的综合应用(一)（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第三课时　函数性质的综合应用(一) 角度1　比较大小 [例1]　(2022·聊城三模)已知函数f(x)＝e|x|(x≠0)的导函数为f′(x)．若a>b，且ab≠0，则(　 ) A．f(a)>f(b) B．f(a)<f(b) C．f′(－a)＋f′(b)>0 D．f′(a)＋f′(－b)>0 [解析]　因为f(x)＝e|x|＝所以f′(x)＝所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，故选项A、B错误；由解析式可得f′(x)是奇函数，且在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f′(a)>f′(b)，f′(－a)<f′(－b)，所以f′(a)＋f′(－b)>f′(a)＋f′(－a)＝0，f′(－a)＋f′(b)<f′(－a)＋f′(a)＝0，故选项C错误，选项D正确． [答案]　D 角度2　解不等式 [例2]　(2022·遵义三模)若奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则满足<0的x的取值范围是(　 ) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(1,2) [解析]　由f(x)是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝0可知，当x∈(－1,0)∪(1，＋∞) 时，f(x)>0，当x∈(－∞，－1)∪(0,1) 时，f(x)<0，又<0⇔或解得－1<x<0或1<x<2，即满足<0的x的取值范围是(－1,0)∪(1，2). [答案]　D 1．比较大小问题 一般解法是利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化为与在同一单调区间上的有关自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 2．解抽象不等式 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； (2)利用单调性脱去符号“f”，转化为解不等式(组)的问题． 3．解题注意点 在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需要转化为含有符号“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)<0，则f(x－1)<f(1)；偶函数中f(x)＝f(|x|)的灵活应用等．　　 [针对训练] 1．已知奇函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝xf(x)，则(　 ) 2．已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)．若f(2a－1)<f(a)，则实数a的取值范围是(　 ) A.∪(1，＋∞) 　 B．(0,1) C．(－∞，0)∪ 　 D. 解析：选D　由可得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．因为f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)＝ln(1－x2)，所以f(－x)＝ln[1－(－x)2]＝ln(1－x2)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．易知y＝1－x2在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增．由f(2a－1)<f(a)可得f(|2a－1|)<f(|a|)，所以解得0<a<.故选D. 角度1　判断函数的奇偶性与周期性 [例1]　(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x－1)与f(x＋1)都为奇函数，则下列说法正确的是(　 ) A．f(x)是周期为2的周期函数 B．f(x)是周期为4的周期函数 C．f(x＋2)为奇函数 D．f(x＋3)为奇函数 [解析]　因为函数f(x)的定义域为R，且f(x－1)与f(x＋1)都为奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，f(－x＋1)＝－f(x＋1)，所以f(x)＝－f(－x－2)，f(x)＝－f(－x＋2)，所以f(－x－2)＝f(－x＋2)，即f(x＋4)＝f(x)，故B正确，A错误；因为f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，且f(x－1)为奇函数，所以f(x＋3)为奇函数，故D正确；因为f(x＋2)与f(x＋1)相差1，不是最小正周期的整数倍，且f(x＋1)为奇函数，所以f(x＋2)不为奇函数，故C错误．故选B、D. [答案]　BD 角度2　利用函数的奇偶性与周期性求值 [例2]　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(1－x)，且函数f(x＋1)是奇函数．若f＝－，则f＝(　 ) A．－1 B．1 C．－ D. [解析]　因为函数f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)．又f(x)＝f(1－x)，所以f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，所以f＝f＝f.因为f＝f＝－f＝－f＝－f，所以f＝－f＝，即f＝.故选D. [答案]　D 已知函数的周期性、奇偶性求函数值，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所有函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性