第2章 第2节 第2课时 函数的奇偶性与周期性、对称性（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第二课时　函数的奇偶性与周期性、对称性 Ⅰ.主干知识的再认再现 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2．函数的周期性 周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 3．函数的对称性 (1)①若函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)． ②若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点(a,0)对称． (2)两个函数图象的对称 ①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称． ②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称． ③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． Ⅱ.基础小题的即时强化 一、教材经典小题的回顾拓展 1．(人教A版必修①P84·例6改编)(多选)下列给出的函数是奇函数的是(　 ) A．y＝ B．y＝ C．y＝x3＋1 D.y＝sin x 答案：ABD 2．(苏教版必修①P125·T7改编)已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________. 答案：－ 3．(北师大版必修②P4·T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 023)＝________. 解析：由题意知f(2 023)＝f(3×674＋1)＝f(1)，而f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2 023)＝f(1)＝－1. 答案：－1 二、易错易混小题的矫正纠偏 1．(不会构造奇、偶函数)已知函数f(x)＝ex－e－x＋x3＋3，若f(a)＝5，则f(－a)＝(　 ) A．2 B．1 C．－2 D.－5 解析：选B　设g(x)＝f(x)－3＝ex－e－x＋x3，则g(－x)＝e－x－ex－x3＝－(ex－e－x＋x3)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．因为g(a)＝f(a)－3＝2，所以g(－a)＝f(－a)－3＝－2，则f(－a)＝1. 2．(忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称)已知函数f(x)＝x2－2ax＋b是定义在区间[－2b,3b－1]上的偶函数，则函数f(x)的值域为________． 解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即a＝0.又f(x)的定义域为[－2b,3b－1]，∴－2b＋3b－1＝0，解得b＝1.∴f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，∴函数f(x)的值域为[1,5]． 答案：[1,5] 3．(忽略自变量0的函数值)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋x－1，则函数f(x)的解析式为______________． 解析：设x<0，则－x>0，由题意可知f(－x)＝(－x)2－x－1＝x2－x－1，因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x＋1，且f(0)＝0.综上所述，f(x)＝ 答案：f(x)＝ Ⅲ.微点知能的优化拓展 1．理解函数奇偶性的常用结论 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. ②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．灵活应用奇函数的两个特殊性质 (1)若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0. (2)若F(x)＝f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c. 3．熟记函数周期性的3个常用结论 4．谨防两个易误点 (1)求奇函数解析式时，忽略x＝0的情况，会造成解析式缺失，特别地，奇函数要么在x＝0处没有定义，要么在x＝0处的函数值为0，即f(0)＝0. (2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时，不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件． 考法一　函数的奇偶性及其应用 角度1　判断函数的奇偶性 [例1]　下列函数是偶函数的是(　 ) A．f(x)＝xcos x