第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第三节　函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 2．函数的周期性 周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. ②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)奇函数的特殊性质 ①若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0. ②若F(x)＝f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c. (4)函数周期性的3个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； ②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)； ③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． (5)对称性的3个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． 1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是(　 ) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝2x＋2－x D．f(x)＝－cos x 答案：B 2．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则f等于(　 ) A.　　　　　　　　　 B． C. D．1 解析：选B　由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，则f＝f＝2＝. 3．已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________. 答案：－ 4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________． 答案： 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点　判断函数的奇偶性　 [题点全训] 1．在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin x中，偶函数的个数是(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　y＝xcos x是奇函数，y＝lg和y＝xsin x是偶函数，y＝ex＋x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是2. 2．下列函数是偶函数的是(　 ) A．f(x)＝xcos x B．f(x)＝ C．f(x)＝lg|x| D．f(x)＝ex－e－x 解析：选C　对于A，定义域为R，f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，f(x)是奇函数；对于B，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，f(x)是偶函数；对于D，定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，f(x)是奇函数． 3．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　 ) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析：选B　f(x－1)－1＝－1＝，不是奇函数，故选项A不符合题意；f(x－1)＋1＝＋1＝，是奇函数，故选项B符合题意；f(x＋1)－1＝－1＝，不是奇函数，故选项C不符合题意；f(x＋1)＋1＝＋1＝，不是奇函数，故选项D不符合题意．故选B. 4．设函数f(x)＝，则下列结论不正确的有(　 ) A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 解析：选D　∵f(x)＝，定义域为R， 则f(－x)＝＝－f(x)．∴f(x)是奇函数，∴|f(x)|为偶函数，－f(x)为奇函数， f(x)|f(x)|为奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)， ∴f(|x|)是偶