第2章 第4节 二次函数与幂函数（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第四节　二次函数与幂函数 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)5个常见幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 过定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是 顶点式 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n) 零点式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝ (2)二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数，在上是增函数 在上是增函数，在上是减函数 幂函数的图象和性质 1．已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是(　 ) A．64 B．4 C. D． 答案：D 2．若一次函数y＝ax＋b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是(　 ) 解析：选C　因为一次函数y＝ax＋b的图象经过二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴x＝－<0，且过原点，所以A、B、D不正确． 3．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________． 解析：x∈[1，a]，根据区间的定义可知a>1.∵函数f(x)＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，x∈[1，a]，并且函数f(x)的最小值为f(a)，又函数f(x)在对称轴x＝3左侧单调递减，右侧单调递增，∴1<a≤3. 答案：(1,3] 4．已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是______．(用“<”连接) 解析：由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 答案：c<b<a 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　幂函数的图象与性质　 [题点全训] 1．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　 ) A．c<b<a B．c<a<b C．b<c<a D．a<b<c 解析：选B　因为函数f(x)＝mxn为幂函数，故m＝1.因为函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，所以()n＝2，解得n＝3.故函数f(x)＝x3，则函数f(x)为增函数，因为n>m>ln 2，故c<a<b，故选B. 2.幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选C　从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3.又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求． 3.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　 ) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 解析：选D　幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0，综上所述，选D. 4．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________． 解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a<. 答案： [一“点”就过] (1)在区间(0,1)内，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较