第2章 第5节 指数与指数函数（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第五节　指数与指数函数 1．根式 (1)根式的概念 若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)a的n次方根的表示 xn＝a⇒ 2．有理数指数幂 幂的有关概念 正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1) 0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂没有意义 有理数指数幂的性质 aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q) (ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q) (ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q) 3.指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为；值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即当x＝时，y＝ 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 在R上为增函数 在R上为减函数 (1)当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． (2)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (3)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0,1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称． (4)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. 1．已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1,2)，那么这个函数也必定经过点(　 ) A. B．　C．(1,2)　D. 答案：D 2．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为(　 ) A．2 B．3 C．4 D． 答案：A 3．函数y＝2x＋1的图象是(　 ) 答案：A 4．已知a＝1.80.8，b＝0.81.8，c＝1.81.8，则(　 ) A．a<b<c B．b<a<c　C．c<b<a D．a<c<b 答案：B 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　指数幂的运算　 [题点全训] 答案： 2．化简下列各式： [一“点”就过] (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 基础点(二)　指数型函数图象的识辨　 [题点全训] 1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　 ) 解析：选A　由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，排除C. 2．函数y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是(　 ) 解析：选D　函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，A项显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当0<a<1时，>1，平移距离大于1，所以C项错误．故选D. [一“点”就过] 有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺) 重难点(一)　指数函数图象的应用　 [典例]　已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　 ) A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．2－a＜2c D．1＜2a＋2c＜2 [解析]　作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示， 因为a＜b＜c， 且有f(a)＞f(c)＞f(b)， 所以必有a＜0,0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|， 所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1，故选D. [答案]　D (1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (2)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．　　 [针对训练] 1．若函数y＝|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是(　 ) A．(－∞，－1] B．[－1,0) C．[1，＋∞) D．(0,1] 解析：选B　y＝|1－x|＋m与x轴有公共点，即y＝|1－x|与y＝－m有公共点，y＝|1－x|的图象如图． 由图可知0<－m