第2章 第6节 对数与对数函数（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第六节　对数与对数函数 1．对数 概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N 运算法则 loga(M·N)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M>0，N>0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 2．对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域为(0，＋∞) 值域为R 过定点(1,0)，即x＝时，y＝ 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在区间(0，＋∞)上是增函数 在区间(0，＋∞)上是减函数 3．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝x对称． (1)不论a>1还是0<a<1，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象都无限靠近y轴，但不会与y轴相交． (2)不论a>1还是0<a<1，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象都经过点，(1,0)，(a,1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图象． (3)底数a与1的大小关系决定了对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性．因此若底数a的大小不确定，则需要分0<a<1和a>1两种情况讨论． (4)常用推论：①logab·logba＝1，即logab＝； ②logambn＝logab；③logNM＝＝； ④logab·logbc·logcd＝logad. 1．log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　 ) A．0 B．2 C．4 D．6 解析：选D　原式＝2log23×2log32＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6. 2．设lg 2＝a，lg 3＝b，则log1210＝(　 ) A. B． C．2a＋b D．2b＋a 解析：选A　log1210＝＝＝. 3．已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2，则有(　 ) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a 答案：A 4．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　 ) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 答案：D 5．函数y＝log(3x－1)的单调递减区间为________． 答案： 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　对数式的运算　 [题点全训] 1．设alog34＝2，则4－a＝(　 ) A. B． C. D． 解析：选B　因为alog34＝2，所以log34a＝2， 则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B. 2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　 ) A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1 解析：选A　由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45， 代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg， 所以lg＝10.1，所以＝1010.1. 3．计算下列各式： (1)lg 500＋lg－lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2＝________. (2)＝________. (3)log5＋31＋log32＋lg 200－lg 2＝________. 解析：(1)原式＝lg(5×100)＋lg 8－lg 5－lg 26＋50＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52. (2)原式＝ ＝ ＝＝＝＝1. (3)原式＝log5＋3log36＋lg(102×2)－lg 2 ＝－＋6＋2＋lg 2－lg 2＝. 答案：(1)52　(2)1　(3) [一“点”就过] 对数运算的一般思路 转化 ①利用ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化； ②利用换底公式化为同底数的对数运算 恒等式 注意loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N的应用 拆分 将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简 合并 将对数式化为同底数对数的和、差、