第2章 第8节 函数与方程（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第八节　函数与方程 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无 零点个数 2 1 0 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． (2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 1．函数y＝f(x)的图象是一个连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为(　 ) x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64 A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B　由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点． 2．函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为(　 ) A．－2 B．－ C. D．2 解析：选B　由题意知，f(1)＝＋a＝0，解得a＝－. 3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　 ) A．2 B．－2,0 C. D．0 解析：选D　当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝(舍去)．综上，函数的零点为0. 4．函数f(x)＝ln x＋x－，则函数f(x)的零点所在区间是(　 ) A. B． C. D．(1,2) 解析：选C　易知函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∵f＝ln＋＝ln，又(3)4＝81e<44， ∴f＝ln<0， ∵f(1)＝ln 1＋1－＝>0， ∴函数f(x)的零点所在的区间为. 5．函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是________． 答案： 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　函数零点存在性定理的理解　 [题点全训] 1．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则(　 ) A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解 解析：选D　因为函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，所以尽管f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解． 2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是(　 ) A．若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 B．若f(a)f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 C．若f(a)f(b)>0，则可能存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 D．若f(a)f(b)<0，则可能不存在实数c∈[a，b]，使得f(c)＝0 解析：选C　取f(x)＝x2－1，区间取为[－2,2]，满足f(－2)f(2)>0，但是f(x)在[－2,2]内存在两个零点－1,1，故A说法错误，C说法正确；取f(x)＝sin x，区间取为，满足ff＝×＝－<0，但是f(x)在内存在三个零点π，2π，3π，故B说法错误；根据函数零点存在性定理可知，D说法错误． [一“点”就过] 对函数零点存在性定理的理解 存在性 当函数y＝f(x)满足定理的条件时，函数在区间(a，b)内至少存在一个零点 唯一性 在满足定理的条件下，若函数f(x)在区间(a，b)上又是单调函数，则该函数在区间(a，b)内只有一个零点 不可逆性 若函数f(x)