第2章 第2节 函数的单调性与最大(小)值（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　函数的单调性与最大(小)值 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.　 2.理解函数单调性与最值的作用和实际意义. 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I， 都有f(x)≤M； 存在x0∈I， 使得f(x0)＝M 对于任意x∈I， 都有f(x)≥M； 存在x0∈I， 使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 1．与函数单调性有关的常用结论 (1)若∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 ①>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在区间D上单调递增． ②<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在区间D上单调递减． (2)y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)和(0,1)． (3)y＝ax＋(a>0，b>0)的单调递增区间为和，单调递减区间为和. (4)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (5)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 2．掌握以下几个注意点 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域． (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　 ) A．y＝＋x B．y＝x2－x C．y＝－x2－2x D．y＝ex 答案：C 2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是(　 ) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：A 3．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)<f的实数x的取值范围为(　 ) A. B． C. D． 解析：选B　由题设得解得－1≤x<. 4．函数f(x)＝在区间[1,5]上的最大值为________，最小值为________． 解析：f(x)在[1,5]上是减函数，所以最大值为f(1)＝＝3，最小值为f(5)＝＝. 答案：3　 5．已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5,20]上单调，则实数k的取值范围是________． 解析：易知f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为x＝k，由题意可得k≤5或k≥20. 答案：(－∞，5]∪[20，＋∞) 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点　确定具体函数的单调性或单调区间　 [题点全训] 1．函数f(x)＝在(　 ) A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 解析：选C　函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数． 2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　 ) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 解析：选D　函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1， 由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2， 所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间． 根据复合函数的单调性可知， 函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)． 3．函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是________________． 解析：y＝|x2－3x＋2| ＝ 作出函数图象如图所示，由图可知，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1]和. 答案：(－∞，1]和 4．用定义法证明函数f(x)＝x2－在(0，＋∞)上单调递增． 证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x1<x2. 由f(x1)－