第2章 第9节 函数模型及其应用（Word教参）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第九节　函数模型及其应用 1.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 1．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 f(x)＝x＋(a>0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax (1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢． (2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键． (3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性． 1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　 ) A．40万元 B．60万元 C．80万元 D．120万元 解析：选D　当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)． 2．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝(　 ) A．ln 2 B．ln 3 C. D． 解析：选C　由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝. 3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　 ) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 解析：选B　在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次g(x)>f(x)>h(x)． 4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝x∈N*，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为160，则该公司拟录用人数为________． 解析：令y＝160，若4x＝160，则x＝40＞10，不合题意；若2x＋10＝160，则x＝75，满足题意；若1.5x＝160，则x＝∉N*，不合题意．故拟录用人数为75. 答案：75 基础点——自练通关(省时间) 基础点(一)　已知函数模型解决实际问题　 [题点全训] 1．点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r(单位：米)的关系式为ΔL＝10lg(单位：dB)，取lg 5≈0.7，则r从8米变化到40米时，衰减量的增加值约为(　 ) A．14 dB B．18 dB C．21 dB D．28 dB 解析：选A　因为衰减量ΔL与传播距离r(单位：米)的关系式为ΔL＝10lg，所以r从8米变化到40米时，衰减量的增加值约为10lg－10lg＝10lg 25＝20lg 5≈20×0.7＝14 dB，故选A. 2．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(单位：件)与单价P(单位：元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(单位：元)，其中C＝500＋30x，若要求每天获利不少