专题02 函数1 函数的性质（4大重难点详细讲解）-备战2024高考数学重难点及压轴题突破-【自学重难点】

第01讲 函数的性质（4大难点） 难点1：复合函数的单调性 在考试中，我们遇到的函数往往不是简单的基础函数，而是由很多基础的函数在一起构成的复合函数。对于复合函数题，我们一般需要研究其函数性质进行求解，其中研究复合函数的单调性能够帮助我们更快地解决问题。 判断复合函数单调性的方法： 减函数 减函数 增函数 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 【例题】（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知函数，若成立，则实数的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 A. C. B. D. 【答案】C 【解析】由题意，， 对于题目所给这个复合函数，我们想要知道实数的取值范围需要解不等式，而在解不等式之前，我们需要先搞清楚这个函数的性质，我们需要对这个函数进行化简。 在中， ， 我们发现这个函数经过化简后和含有公共项，因此研究函数的性质就转变成了研究的性质了。 在中， ， ∵， ∴函数是偶函数， 下面我们研究函数的单调性，而我们知道函数是单调增函数，我们只需研究函数的单调性。而函数又是由和组成，但和又都是函数变形，因而组成了的对勾函数，因此可以知道是增函数，进而求出的单调性。 ∵时，，单调递增， ∴组成了对勾函数， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴函数在单调递增， ∵函数在定义域上单调递增， ∴在单调递增， 求出单调性和奇偶性后，我们来求函数的单调性和奇偶性。 在中，， ∴关于直线对称，且在单调递增. 我们根据的单调性和奇偶性，即可画出函数的草图，根据草图发现函数值的大小关系可以转化为自变量到轴的距离，从而借助绝对值进行求解，进而求出的取值范围。 ∴， 化简得，解得：. 故选：C. 【总结】判断函数单调性方法： 1.简单函数：定义法； 2.一般函数：求导法； 3.对于两种函数的复合函数：复合函数单调性法. 对于复合函数，我们往往需要化简函数来求其单调性，对于复合函数的单调性我们有以下的判断方法： 减函数 减函数 增函数 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 【变式训练】（2021.四川成都·石室中学校考三模）函数的定义域为，若满足：① 在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是 . 难点2：函数最值——不等式恒成立（能成立）问题 对于一个函数来说，研究函数的单调性后我们即可得出函数的取值范围和极（最）值。而求函数不等式的恒成立（能成立）问题，是考试常考的重难点之一，其本质就是通过函数的单调性求函数的最值，进而求解不等式。 （1）对于恒成立求参数问题，我们常用分离参数法的方法： 若不等式(是实参数)恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可。 （2）对于能成立求参数问题，我们常用分离参数法的方法： 若不等式(是实参数)能成立，将转化为或能成立，进而转化为或，求的最值即可。 【例1】（2023.广东深圳·统考模拟预测）（多选）已知函数，若，且，都有，则实数的值可以为 A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】由题意，， 我们要求实数的值，需要研究函数的性质，这题是道恒成立问题，我们通过已知条件可以得出。 在中，且，都有， ∴当时，对于恒成立， 我们发现不等式的左右两边都是的形式，因此我们想到构造函数，利用单调性和导数得出不等式关系。 在中，，则函数单调递减， ∴，即， ∴对于恒成立， 对于恒成立问题，大于等于，相当于大于等于的最大值即可，而对于二次函数来说，在上的最小值即在对称轴处取得，即可求出的取值范围。 ∴， 在中，对称轴， ∴函数在单调递减， 当时，， ∴， ∴， ∴A、B正确，选项C、D错误， 故选：AB. 【总结】对于恒成立问题，分离参变量后有以下处理思路： 1.若（或），相当于是求（或），即求函数的最大值； 2.若（或），相当于是求（或），即求函数的最小值。 【例2】（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）若函数在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”.知函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意， 根据“局部奇函数”定义，若所给函数为“局部奇函数”，则需要满足，即存在一个未知数使得函数有解。 在中，函数是“局部奇函数”， ∴有解， 即方程有解， ∴即有解； 我们可以看出两个项中都含有，我们将看作一个整体，设为，即可多出关于的一元二次方程，然后分离参变量，研究分离变量后的函数的单调性。 设，则(当且仅当时取等号)， ∴方程等价于在时有解， ∴在时有解； 在函数中，， ∴函数在上单调递增，