专题7.1 数列的概念与简单表示（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题7.1 数列的概念与简单表示 【核心素养】 1. 与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．与函数相结合，考查数列的概念性质，凸显数学抽象、数学运算的核心素养． 3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养． 知识点一 数列的概念 1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列. 2.对数列概念的理解 （1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． （2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． （3）数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 知识点二 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N＋ 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数，使 摆动数列 的符号正负相间，如1，－1,1，－1，… 知识点三 数列的通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. 知识点四 数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 知识点五 an与Sn的关系 数列的前项和和通项的关系：则 特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段． 知识点六 数列的性质 数列的性质----主要指： （1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列； （2）数列的周期性. 常考题型剖析 题型一：数列的概念与通项公式 【典例分析】 例1-1.（2023·全国·高三专题练习）数列…的一个通项公式为（　　） A． B． C． D． 例1-2.（2020·浙江·统考高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是 ． 【规律方法】 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证. 3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 【变式训练】 变式1-1.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（　　） A． B． C． D． 变式1-2.【多选题】（2023春·湖北省直辖县级单位·高二校考阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则（    ） A．数列第16项为144 B．数列第16项为128 C．200是数列第20项 D．200不是数列中的项 题型二：数列的增减性 例2-1.【多选题】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的通项为，，则（    ） A．数列的最小项为 B．数列的最大项为 C．数列的最小值为－0.8 D．数列的最大值为2.4 例2-2.（2022·北京·高考真题）己知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3；     ②为等比数列； ③为递减数列；            ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是_____