河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

南阳一中2023年秋期高三年级开学考试 数学学科试题 一、单选题 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面中，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列说法正确的是（  ） A. 若，则 B. 若，则存在唯一实数使得 C. 若，，则 D. 与非零向量共线的单位向量为 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数y＝f(x)是定义在实数集上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图像之间（ ） A. 关于直线x＝5对称 B. 关于直线x＝1对称 C. 关于点（5，0）对称 D. 关于点（1，0）对称 6. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 8. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列求导数的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于双曲线的结论中，正确的是（ ） A. 离心率为 B. 焦距为 C. 两条渐近线互相垂直 D. 焦点到渐近线的距离为1 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，为正方体，下面结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的正弦值为 C. 平面 D. 异面直线与所成的角为 三、填空题 13. 抛物线的焦点的坐标为__________. 14. 已知一组样本数据，，，，的方差为5，且满足，则样本数据的方差为____________. 15. 函数的最大值为__________. 16 已知正项数列中，，，，则______，______． 四、解答题 17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，且的平分线交于点． （1）求角 （2）求线段AE的长 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式： （2）设，求数列最大项． 19. 某商店为了吸引顾客，设计了两种摸球活动奖励方案．先制作一个不透明的盒子，里面放有形状大小完全相同的4个白球和2个红球． 方案一：不放回地从盒子中逐个摸球，消费金额每满300元摸一次，最终根据顾客摸到的红球个数发放奖金，如表格所示． 红球个数 0 1 2 奖金 0元 30元 75元 方案二：可放回地从盒子中逐个摸球，消费金额每满200元摸一次，每摸到一个红球奖励15元． （1）若顾客甲消费的金额为600元，且选择了方案一，求甲获得奖金数为30元的概率； （2）若顾客乙消费的金额为800元，但他可以在摸出第一个球后，根据所摸出球的颜色，再决定执行方案一或方案二继续摸球．请从奖金数期望最大的角度为顾客乙制定第一次摸球后的方案选择，并说明理由． 20. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数m的最大值. 21. 如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为. （1）证明：； （2）当为何值时，直线与平面所成角正弦值为？ 22. 已知抛物线：（）和圆C：，点是上的动点，当直线的斜率为时，的面积为． （1）求抛物线的方程； （2）若、是轴上的动点，且圆是的内切圆，求面积的最小值． 南阳一中2023年秋期高三年级开学考试 数学学科试题 一、单选题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 【12题答案】 【答案】ACD 三、填空题 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】9 【15题答案】 【答案】2 【16题答案】 【答案】 ①. 2 ②. 四、解答题 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）；（2）见解析 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】(1)证明见解析；(2) 【22题答案】 【答案】（1） （2）32 第1页/共1页 $$