2023年九年级中考数学复习二次函数中的胡不归问题与阿氏圆问题

二次函数的胡不归问题与阿氏圆问题 一．二次函数中的胡不归问题（共15小题） 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）点D是第一象限内抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F． ①求DEBE的最大值； ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标． 2．如图1，抛物线y＝ax2+bx过点A（﹣1，0），B（3，0）．与y轴交于C，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM面积为S1，△MON的面积为S2，若2，求m的值； （3）如图3，当m＝1时，D、G分别是线段BF，BE上的动点，连接ED，FH⊥ED交BE于点K，垂足为H，连接HG，求HGBG的最小值． 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（6，0），与y轴交于点C．点D和点C关于x轴对称，点P是线段OB上的一个动点．设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M． （1）求抛物线的解析式． （2）连接BQ，DQ，当点P运动到何处时，△DQB面积最大？最大面积是多少？并求出此时点Q的坐标． （3）在第（2）问的前提下，在x轴上找一点E，使QEEB值最小，求出QEEB的最小值并直接写出此时点E的坐标． 4．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y交于A、B两点，其中点A的横坐标是﹣2 （1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标； （2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限；点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？ 5．如图，已知抛物线y＝m（x+1）（x﹣2）（m为常数，且m＞0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限． （1）求抛物线的函数表达式． （2）在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若∠DBA＝30°，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？ 6．已知：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D（0，﹣6），直线yx+2交x轴于点B，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）抛物线上点E位于第四象限，且在抛物线的对称轴的右侧，当△BCE的面积为32时，过点E作平行于y轴的直线交x轴于Q，交BC于点F，在y轴上是否存在点K，使得以K、E、F三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求出点K的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，在线段OB上有一动点P，直接写出DP+BP的最小值和此时点P的坐标． 7．如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线yx与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5． （1）求抛物线的函数表达式； （2）该二次函数图象上有一点P（x，y）使得S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标； （3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，求2AF+DF的最小值． 8．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a（a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线yx与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P（x，y）在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标； （3）设F为线段BD上的一个动点（异于点B和D），连接AF．是否存在点F，使得2AF+DF的值最小？若存在，分别求出2AF+DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线y（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线yx+b与抛物线的另一交点为D． （1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式． （2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连结AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动