第一章 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

 

 [由教材回扣基础]

1．命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定

2．全称量词和存在量词

3.全称命题和特称命题

4.常用结论

(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q→见真即真，p且q→见假即假，p与綈p→真假相反．

(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．

(3)“p或q”的否定是“(綈p)且(綈q)”，“p且q”的否定是“(綈p)或(綈q)”．

(4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．

[练小题巩固基础]

一、准确理解概念(判断正误)

(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(　 )

(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(　 )

(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(　 )

(4)若命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至多有一个是真命题．(　 )

(5)“长方形的对角线相等”是特称命题．(　 )

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×

二、练牢教材小题

1．(人教A版选修2－1 P18 T1改编)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是(　 )

A．p∧(綈q)　　　　　 B．(綈p)∧q

C．(綈p)∧(綈q)  D．p∧q

解析：选A　因为命题p为真命题，q为假命题，故綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题．

2．(新人教A版必修①P35 T6改编)下列命题中的假命题是(　 )

A．∃x∈R，lg x＝1  B．∃x∈R，sin x＝0

C．∀x∈R，x3>0  D．∀x∈R,2x>0

解析：选C　当x＝10时，lg x＝1，故A是真命题；当x＝0时，sin x＝0，故B是真命题；当x＝－1时，x3<0，故C是假命题；由指数函数的值域知D是真命题．

3．(新苏教版必修①P47 T10改编)若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围为________．

答案：(－∞，1)

三、练清易错易混

1．(不会利用真值表判断命题的真假)已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是(　 )

A．(綈p)∨q  B．p∧q

C．(綈p)∧(綈q)  D．(綈p)∨(綈q)

答案：D

2．(混淆否命题与命题的否定)命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是______________________．

答案：存在一个奇数，它的立方不是奇数

命题视角一　简单的逻辑联结词

考法(一)　含逻辑联结词复合命题的真假判断　

[例1]　(1)(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是(　 )

A．p∧q  B．綈p∧q

C．p∧綈q  D．綈(p∨q)

(2)(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．

p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是________．

①p1∧p4　②p1∧p2　③綈p2∨p3　④綈p3∨綈p4

[解析]　(1)对于命题p，因为－1≤sin x≤1，所以∃x∈R，sin x<1，故p为真命题．对于命题q，∀x∈R，e|x|≥e0＝1，从而q为真命题．所以p∧q为真命题，綈p∧q，p∧綈q，綈(p∨q)均为假命题．故选A.

(2)对于p1，由题意设直线l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，则由l1∩l2＝A，知l1，l2共面，设此平面为α，由B∈l2，l2⊂α，知B∈α，由C∈l1，l1⊂α，知C∈α，所以l3⊂α，所以l1，l2，l3共面于α，所以p1是真命题．

[答案]　(1)A　(2)①③④

[方法技巧]

判断含逻辑联结词复合命题真假的步骤

(1)定结构：确定复合命题的构成形式；

(2)辨真假：判断其中简单命题的真假性；

(3)下结论：依据真值表判断复合命题的真假．　　

考法(二)　根据复合命题的真假求参数　

[例2]　已知p：关于x的不等式ax>1(a>0且a≠1)的解集是{x|x>0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．

[解析]　若关于x的不等式ax>1(a>0且a≠1)的解集为{x|x>0}，则a>1；若函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，则Error!解得a>.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，则Error!或Error!即<a<1.

[答案]　

[方法技巧]

已知复合命题真假求参数取值范围的步骤