第二章 第一节 函数的概念及其表示（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第二章 | 函数概念与基本初等函数Ⅰ

第一节　函数的概念及其表示

课程标准

1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．

 [由教材回扣基础]

1．函数的基本概念

2.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

3．分段函数的相关结论

(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

(1)垂直于x轴的直线与函数的图象至多有1个交点，即在定义域内垂直于x轴的直线与图象只有1个交点．

(2)解决函数问题时要树立定义域优先的思想．

(3)求函数的定义域时常用的结论

①分式中，分母不为0；

②偶次方根中，被开方数非负；

③对于y＝x0，要求x≠0，负指数的底数不为0；

④对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1；

⑤指数函数的底数大于0且不等于1；

⑥对于正切函数y＝tan x，要求x≠kπ＋，k∈Z.

(4)复合函数：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．

[练小题巩固基础]

一、准确理解概念(判断正误)

(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．(　 )

(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　 )

(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　 )

答案：(1)×　(2)×　(3)×

二、练牢教材小题

1．(人教A版必修①P24T2改编)下面函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　 )

A．y＝　　　 B．y＝＋1

C．y＝＋1  D．y＝＋1

答案：B

2．(新人教A版必修①P73 T6改编)已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝6，则f(x)＝________.

答案：2x2－x

3．(人教A版必修①P17例1改编)函数f(x)＝＋的定义域是________．

答案：(－4,4]

4．(人教B版必修①P44T1改编)已知函数f(x)＝Error!则f(3)＋f(－3)f的值为________．

答案：1＋2

三、练清易错易混

1．(忽视自变量范围)设函数f(x)＝Error!则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为____________________________________________________________________．

解析：当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1.当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x≤－2或

0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0,10]．

答案：(－∞，－2]∪[0,10]

2．(忽视新元范围)已知f()＝x－1，则f(x)＝________.

解析：令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．

答案：x2－1(x≥0)

命题视角一　函数的定义域(自主练通)

1．函数f(x)＝ln(4x－x2)＋的定义域为(　 )

A．(0,4)　　　　　　 B．[0,2)∪(2,4]

C．(0,2)∪(2,4)  D．(－∞，0)∪(4，＋∞)

解析：选C　要使函数有意义，则Error!解得0＜x＜4且x≠2.

2．已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f＋f的定义域是(　 )

A.  B．

C.  D．

解析：选C　由题意得Error!∴Error!∴≤x≤.故选C.

3．(2022·北京高考)函数f(x)＝＋的定义域是________．

解析：因为f(x)＝＋，所以x≠0,1－x≥0，解得x∈(－∞，0)∪(0,1]．

答案：(－∞，0)∪(0,1]

4．已知函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围是________．

解析：当k＝0时，y＝，满足条件；当k≠0时，由Error!得0<k<3.综上，0≤k<3.

答案：[0,3)

[一“点”就过]

1．根据具体的函数解析式求定义域的策略

已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．

2．求抽象函数的定义域的策略