第二章 第二节 第2课时 精研题型明考向——函数的性质及其应用（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第2课时　精研题型明考向——函数的性质及其应用

1．(2021全国甲卷·考查函数单调性的判断)

下列函数中是增函数的为(　 )

A．f(x)＝－x  B．f(x)＝x

C．f(x)＝x2  D．f(x)＝

解析：选D　函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝x是指数函数，底数0<<1，所以函数f(x)在R上是减函数；函数f(x)＝x2是二次函数，在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数；函数f(x)＝＝x是幂函数，指数>0，所以函数f(x)在R上是增函数．故选D.

2．(2021全国乙卷·考查函数的解析式及奇函数的判断)

设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　 )

A．f(x－1)－1  B．f(x－1)＋1

C．f(x＋1)－1  D．f(x＋1)＋1

解析：选B　f(x－1)－1＝－1＝，不是奇函数，故选项A不符合题意；f(x－1)＋1＝＋1＝，是奇函数，故选项B符合题意；f(x＋1)－1＝－1＝，不是奇函数，故选项C不符合题意；f(x＋1)＋1＝＋1＝，不是奇函数，故选项D不符合题意．故选B.

3．(2021全国甲卷·考查函数的奇偶性、对称性与周期性)

设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　 )

A．－  B．－  C.  D．

解析：选D　因为f(x＋1)是奇函数，所以f(x)关于(1,0)中心对称，所以f(1)＝0，因为f(x＋2)是偶函数，所以f(x)关于直线x＝2对称，周期为4，所以f(0)＝－f(2)，f(3)＝f(1)，即f(1)－f(2)＝6，f(2)＝－6，代入可得Error!解得Error!因此f＝f＝－f＝－

＝.故选D.

4．(2020新高考Ⅱ卷·考查复合函数的单调性及定义域)

已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　 )

A．(－∞，－1]  B．(－∞，2]

C．[2，＋∞)  D．[5，＋∞)

解析：选D　∵f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，∴Error!∴a≥5.故a的取值范围为[5，＋∞)．

5．(2020全国Ⅱ卷·考查函数的单调性、奇偶性)

设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　 )

A．是偶函数，且在单调递增

B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增

D．是奇函数，且在单调递减

解析：选D　由Error!⇒x≠±，∴函数f(x)的定义域为Error!，关于原点对称，又∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，排除A、C；当x∈时，函数f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，易知函数f(x)单调递增，排除B；当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln＝ln，函数f(x)单调递减，故选D.

6．(2022新高考Ⅱ卷·考查函数周期性、赋值法解抽象函数)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝(　 )

A．－3  B．－2

C．0  D．1

解析：选A　因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)　①，所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)　②.由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝

0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝1，y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A.

7．(2022全国乙卷·考查函数的对称性、奇偶性及周期性)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则(k)＝(　 )

A．－21  B．－22

C．－23  D．－24

解析：选D　由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，可得g(2＋x)＝g(2－x)．在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替换x，可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，可得f(－x)＝f(x)　①，y＝f(x)为偶函数．在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替换x，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5中，得f(x)＋f(－x－2)＝－2　②，所以y＝f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由①②可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5，又g(2)＝4，所以可得f(0)＝1，又f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3，又f(3)＝f(－1)＝－1，f(4)＝f(0)＝1，所以(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.

8．(2022全国乙卷·考查由函数的奇偶性求参数)若f(x)＝ln＋b是奇函数，则a＝________，b＝________.

解析：因为函数f(x)＝ln＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以x＝＝－1，解得a＝－，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln 2.即f(x)＝ln＋ln 2＝ln，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意．

答案：－　ln 2