第二章 第三节 二次函数与幂函数（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第三节　二次函数与幂函数 课程标准 [由教材回扣基础] 1．幂函数的定义 形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．对于幂函数，只讨论α＝1,2,3，，－1时的情形． 2．五种幂函数的图象与性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 过定点(0,0)，(1,1) 过定点(1,1) 3.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质 a>0 a<0 图象 定义域 R 值域 单调性 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增，在上单调递减 最值 当x＝－时，ymin＝ 当x＝－时，ymax＝ 幂函数的图象和性质 [练小题巩固基础] 一、准确理解概念(判断正误) (1)函数y＝2x是幂函数．(　 ) (2)当n＜0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　 ) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是.(　 ) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈R不可能是偶函数．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、练牢教材小题 1．(人教A版必修①P79 T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是________． 答案： 3．(新北师大版必修①P34 例1改编)已知函数y＝－x2＋4x＋2在区间[3，m]上的最大值为10，则m的取值范围是________． 答案：[4，＋∞) 三、练清易错易混 1．(对二次函数的单调性理解不到位)若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________． 答案： 2．(忽视定义域)已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围为________． 答案：(3,5) 命题视角一　幂函数的图象与性质(自主练通) 2.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　 ) A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜m＜ C．－1＜m＜0＜n＜ D．－1＜n＜0＜m＜1 答案：D 3．已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4,2)，则下列说法正确的是(　 ) A．函数f(x)在定义域内为减函数 B．函数f(x)为偶函数 C．当x>1时，f(x)<1 D．当0<x1<x2时，<f 解析：选D　由题意得4α＝2，∴α＝，∴f(x)＝x＝，∴函数f(x)在上单调递增，且为非奇非偶函数，故A、B错误；当x>1时，f(x)＝>1，故C错误；由函数图象知f(x)＝为“上凸函数”，故D正确． 4．若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是__________． 解析：因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解得即≤m<2. 答案： [一“点”就过] 幂函数图象与性质的应用 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．　　 命题视角二　求二次函数的解析式(自主练通) 1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式f(x)＝________________. 解析：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵二次函数f(x)图象的顶点坐标是(－2，－1)，∴f(x)＝a(x＋2)2－1.∵图象经过点(1,0)，∴f(1)＝a(1＋2)2－1＝9a－1＝0，∴a＝，∴f(x)＝(x＋2)2－1＝x2＋x－. 答案：x2＋x－ 2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则函数f(x)的解析式为___________________________________． 解析：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x