第一章 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

1.理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

2．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

 [由教材回扣基础]

1．命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及相互关系

3．四种命题的真假关系

(1)若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

(3)在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0,2,4.

4．充分条件与必要条件的相关概念

记p，q对应的集合分别为A，B，则

(1)四种命题的等价关系：原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时往往找等价命题进行证明．

(2)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．

(3)区分A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同．

(4)A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件．

(5)在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围)x>2(小范围)．

[练小题巩固基础]

一、准确理解概念(判断正误)

(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　 )

(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　 )

(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　 )

(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　 )

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

二、练牢教材小题

1．(人教B版选修2－1P24T2(3)改编)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　 )

A．若α≠，则tan α≠1

B．若α＝，则tan α≠1

C．若tan α≠1，则α≠

D．若tan α≠1，则α＝

答案：C

2．(新人教B版必修①P42 T9改编)设a，b∈R且ab≠0，则“ab＞1”是“a＞”的(　 )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：D

3．(人教A版选修2－1P30 T4改编)命题“若x2<4，则－2<x<2”的否命题为____________，为______(填“真”或“假”)命题．

答案：若x2≥4，则x≥2或x≤－2　真

4．(人教A版选修2－1 P7例4改编)命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆

否命题是________________．

答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0

三、练清易错易混

1．(忽视大前提)已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________________．

答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0

2.(对充分、必要条件的概念理解不清)已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的__________条件．

答案：充分不必要

命题视角一　命题及其关系(自主练通)

1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为(　 )

A．1  B．2 

C．3  D．4

解析：选B　因为原命题为真命题，所以其逆否命题为真命题．原命题的否命题“若a≤－3，则a≤－6”为假命题，原命题的逆命题“若a>－6，则a>－3”为假命题．故选B.

2．在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是(　 )

A．若经冬寒，必知春暖  B．不经冬寒，但知春暖

C．若知春暖，必经冬寒  D．不经春暖，必历冬寒

解析：选C　“不经冬寒，不知春暖”的逆否命题为“若知春暖，必经冬寒”．故选C.

3．已知命题：若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除．写出它的逆命题：________________________________________________________________________.

答案：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0

4．有下列命题：

①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；

②“矩形的对角线相等”的否命题；

③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；

④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．

其中正确命题的序号是________．

解析：对于①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”，逆命题为真命题，则否命题也为真命题，故①正确；对于②“矩形的对角线相等”的逆命