云南省宣威市第三中学2023-2024学年高二上学期开学收心考试数学试题
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高二年级上学期开学收心考试卷
数 学
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．复数
满足
，则在复平面内对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．命题“
，都有
”的否定是（ ）
A．，都有
B．
，使得
C．，使得
D．，使得
4．最近几个月，新冠肺炎疫情又出现反复，各学校均加强了疫情防控要求，学生在进校时必须走测温通道，每天早中晚都要进行体温检测并将结果上报主管部门。某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．甲同学体温的极差为
B．甲同学体温的众数为
C．乙同学体温的中位数与平均数相等
D．乙同学体温的第
百分位数为
5．在ΔABC中，
为线段
上一点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移
个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
7．已知事件A和B相互独立，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动，如图所示，在操场上选择了C，D两点，在C，D处测得旗杆的仰角分别为
。在水平面上测得
且C､D的距离为15米，则旗杆的高度为多少米？（ ）
A．13 B．
C．15 D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．关于复数
（i为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A．
B．
在复平面上对应的点位于第二象限
C．
D．
10．设
，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，则下列为假命题的是（ ）
A．若
，
，则
B．若，
，则
C．若
，
，则
D．若，
，则
11．下列结论正确的是（ ）
A．
，
B．
且
是
的充分不必要条件
C．命题“，使得
”的否定是“
，都有
”
D．“
”是“关于
的方程
有一正根和一负根”的充要条件
12．已知函数
的最小正周期为
，则该函数的图象（ ）
A．关于点
对称 B．关于直线
对称
C．关于点
对称 D．关于直线
对称
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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．设向量
，
的夹角的余弦值为
，且
，
，则
。
14．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为 。（结果保留π）
15．某汽车
店有甲、乙、丙、丁、戊5种车型在售，小王从中任选2种车型试驾，则甲车型被选到的概率为 。
16．在长方体
中，
，
，则异面直线
，
所成的角的余弦值为 。
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）某班
名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：
(1)求这次数学考试学生成绩的众数和平均数；
(2)从成绩在
的学生中任选
人，求此人的成绩都在
中的概率。
18．（12分）已知向量
，
，
，且
。
(1)求实数的值；
(2)求向量与的夹角
。
19．（12分）正三棱柱
的底面正三角形的边长为，为
的中点，
。
(1)证明：
平面
；
(2)求该三棱柱的体积。
20．（12分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出
名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
(1)
这一组的频数､频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､中位数。
(3)从成绩是
分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率。
21．（12分）如图，在三棱锥
中，
，D，E分别是
的中点。
(1)求证：
平面
;
(2)求证：
平面
。
22．（12分）在锐角ΔABC中，
，
，
分别为角
，
，
所对的边且
。
(1)确定角的大小；
(2)若
且ΔABC的面积为
，求
的值。
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参考答案
1．D 【分析】直接利用并集的定义进行运算即可.
【详解】∵，，∴
. 故选：D.
2．D 【分析】利用复数的除法运算求解
【详解】由题得
在复平面内对应的点为(1,-2),
所以在复平面内对应的点在第四象限, 故选：D
3．B 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，都有”的否定是“，使得”. 故选：B.
4．D 【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用众数的概念可判断B选项；利用中位数和平均数的定义可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项.
【详解】甲同学的体温的极差为
，故A选项正确；
甲同学的体温从低到高依次为
、、、、、
、
，
故众数为，故B选项正确；
乙同学的体温从低到高依次为
、、、
、、、，
乙同学的体温的中位数为，平均数也为，故C选项正确；
因为
，故乙同学体温的第百分位数为，故D错误. 故选：D.
5．C 【分析】待求向量中含有，先根据得到向量表达式，然后插入点，根据向量的线性运算求解.
【详解】由于，由于为线段上一点，则
，故
，
整理可得
. 故选：C
6．C 【分析】由平移变换和伸缩变换求解即可.
【详解】要得到函数，需把函数的向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出
的图像.
故选：C
7．A 【分析】由相互独立事件的概率乘法公式可得答案.
【详解】依题意可
． 故选：A
8．C 【分析】设旗杆的高度为
，在
中，利用余弦定理求解.
【详解】如图所示：
设旗杆的高度为，
所以
，
在中，由余弦定理得
，
即
，
即
，
解得
或
（舍去）， 故选：C
9．ACD 【分析】利用复数的运算法则，共轭复数的定义，几何意义即可求解
【详解】
所以
故A正确
，则
在复平面上对应的点为
位于第三象限 故B错误
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