第三章 第一节 导数的概念及运算、定积分（Word教参）-【创新方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第三章 | 导数及其应用 第一节　导数的概念及运算、定积分 课程标准 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数，会用导数公式表． [由教材回扣基础] 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义 一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 记法 记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ 导函数 称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数 几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 2.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝ f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ex f′(x)＝ f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)＝(g(x)≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 5．定积分的性质 (1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)； (2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx； (3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)． 6．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)． (1)f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0. (2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． (3)′＝－. (4)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． (5)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”． (6)在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆． [练小题巩固基础] 一、准确理解概念(判断正误) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　 ) (2)f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．(　 ) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　 ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、练牢教材小题 1．(人教B版选修2－2 P21T2(4)改编)若函数f(x)＝(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝(　 ) A. B. C．1＋x D．1－x 答案：B 2．(人教A版选修2－2 P18T5改编)已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________. 解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3. 答案：3 3．(新人教A版选择性必修②P78T3改编)曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为________________________________________________________________________． 解析：∵y′＝，∴y′|x＝－1＝2.故所求切线方程为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 三、练清易错易混 1．(混淆求导公式)下列导数的运算中错误的是(　 ) A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x C.′＝ D．(