第1章 第3节 等式性质与不等式性质（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第三节　等式性质与不等式性质 1.梳理等式的性质. 2.理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 1．比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a<b a－b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a；a<b⇔b>a 可逆 传递性 a>b，b>c⇒a>c； a<b，b<c⇒a<c 同向 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向，同正 可乘方性 a>b>0，n∈N*⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 同正 3.倒数性质 (1)a＞b，ab＞0⇒＜；(2)a＜0＜b⇒＜； (3)a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞； (4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜. 4．两个重要不等式 若a＞b＞0，m＞0，则： (1)＜；＞(b－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0)． 1．实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是(　 ) A.＜1 B．2－x＜2－y C．lg(x－y)＞0 D．x2＞y2 答案：B 2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　 ) A.＞ B.＜ C.＞ D.＜ 答案：B 3．已知x≠0，则(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小关系为____________________． 答案：(x2＋1)2>x4＋x2＋1 4．已知2<a<3，－2<b<－1，则2a－3b的取值范围是________． 答案：(7,12) 基础点(一)　比较两个数(式)的大小　 [题点全训] 1．已知P＝a2＋b2＋＋c2，Q＝2a＋2b，则(　 ) A．P≥Q B．P＝Q C．P≤Q D．P，Q的大小无法比较 解析：选A　因为P－Q＝－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2＋2≥0，所以P≥Q. 2．已知a＝＋，b＝＋，则(　 ) A．a>b>1 B．b>a>1 C．a>1>b D．b>1>a 解析：选A　显然a>0，b>0， 由题意得解得c≥－2， a2＝c＋3＋c＋4＋2＝2c＋7＋2>1， 故a>1， b2＝c＋2＋c＋5＋2＝2c＋7＋2>1， 故b>1， 又a2－b2＝2－2>0， 故a>b>1. 3．若a＝，b＝，则a______b(填“＞”或“＜”)． 解析：易知a，b都是正数，＝＝＝＝log89＞1，所以b＞a. 答案：＜ [一“点”就过] 比较两个数(式)大小的常用方法 作差法 作差；变形；定号；得出结论 作商法 作商；变形；判断商与1的大小关系；得出结论 构造函数 利用函数的单调性比较大小 基础点(二)　不等式性质的理解　 [题点全训] 1．设c>0，则下列各式成立的是(　 ) A．c>2c　　　　　　　　　 B．c>c C．2c<c D．2c>c 解析：选D　因为c>0时，2c>1，c<1， 所以2c>c.故选D. 2．(2023·济宁模拟)(多选)已知a，b，c，d均为实数，下列说法正确的是(　 ) A．若a>b>0，则< B．若a>b，c>d，则a－d>b－c C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a＋b＝1，则4a＋4b≥4 解析：选BD　对于A，当c≤0时，不等式不成立，故选项A不正确．对于B，c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故选项B正确．对于C，例如： a＝2，b＝－1，c＝－1，d＝－2，此时ac＝－2<bd＝2，故选项C不正确．对于D,4a＋4b≥2＝2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故选项D正确． 3．(多选)已知实数a，b，c满足c<b<a且ac<0，则下列不等式一定成立的是(　 ) A．ab>ac B．c(b－a)>0 C．ac(a－c)<0 D．cb2<ab2 解析：选ABC　因为c<b<a且ac<0，所以c<0，a>0， 所以ab>ac，故A一定成立； 又b－a<0，所以c(b－a)>0，故B一定成立； 又a－c>0，ac<0，所以ac(a－c)<0，故C一定成立； 当b＝0时，cb2＝ab2，当b≠0时，有cb2<ab2，故D不一定成立，故选A、B、C. [一“点”就过] 运用不等式的性质判断命题真假的策略 (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． (2)也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取