第1章 第4节 基本不等式（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.了解一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数方程的联系. 1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．三个“二次”关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3.分式不等式与整式不等式 (1)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)． (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 1．不等式≤1的解集是________． 解析：由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得x－1＝0或(x－1)(x＋1)>0，得x＝1或x<－1或x>1，得x<－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|x<－1或x≥1}． 答案：{x|x<－1或x≥1} 2．已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝________. 答案：R 3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________． 解析：由题意知－，是ax2＋bx＋2＝0的两根， 则a＝－12，b＝－2.所以a＋b＝－14. 答案：－14 4．若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：由题意有4a2－4×18<0，可得－3<a<3. 答案：(－3，3) 基础点(一)　一元二次不等式的解法　 [题点全训] 1．已知集合U＝{x|x2>1}，集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，则∁UA等于(　 ) A．{x|1<x<3} B．{x|x<1或x≥3} C．{x|x<－1或x≥3} D．{x|x<－1或x>3} 解析：选C　∵U＝{x|x2>1}＝{x|x>1或x<－1}，A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}，∴∁UA＝{x|x<－1或x≥3}． 2．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　 ) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2} 解析：选B　根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)， 又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}． 3．已知关于x的不等式mx>n的解集是{x|x<2}，则关于x的不等式(mx＋n)(x－3)>0的解集是(　 ) A．{x|x<2或x>3} 　 B．{x|2<x<3} C．{x|x<－2或x>3} 　 D．{x|－2<x<3} 解析：选D　∵关于x的不等式mx>n的解集为{x|x<2}，∴m<0，n＝2m，∴(mx＋n)(x－3)>0可化为m(x＋2)(x－3)>0，即(x＋2)(x－3)<0，∴－2<x<3，∴关于x的不等式(mx＋n)(x－3)>0的解集是{x|－2<x<3}．故选D. 4．设关于x的不等式ax2＋8(a＋1)x＋7a＋16≥0(a∈Z)只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为________． 解析：设y＝ax2＋8(a＋1)x＋7a＋16，其图象为抛物线，对于任意一个给定的a值，其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y≥0而整数解只有有限个，所以a<0， 因为0为其中一个解，所以可以求得a≥－， 又a∈Z，所以a＝－2或a＝－1， 则不等式为－2x2－8x＋2≥0和－x2＋9≥0，可分别求得－2－≤x≤－2和－3≤x≤3，因为x为整数，所以x＝－4，－3，－2，－1,0和x＝－3，－2，－1，0,1,2,3，所以全部不等式的整数解的和为－10. 答案：－10 [一“点”就过] 解一元二次不等式的4个步骤 基础点(二)　三个“二次”关系的应用　 [题点全训] 1．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－3或x>4}，则下列说法正确的是(　 ) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4} C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为 D．a＋b＋c>0 解析：选AC　对于A，由二次不等式解集的特点易知a