第2章 第2节 函数的单调性与最大(小)值（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第二节　函数的单调性与最大(小)值 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数单调性与最值的作用和实际意义. 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，此时称f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，此时称f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ∀x∈I，都有f(x)≤M； ∃x0∈I，使得f(x0)＝M ∀x∈I，都有f(x)≥M； ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 3．与函数单调性有关的常用结论 (1)若∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 ①>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在区间D上单调递增． ②<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在区间D上单调递减． (2)y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)和(0,1)． (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 1．(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　 ) A．y＝－x B．y＝x2－x C．y＝－x2－2x D．y＝ex 答案：AC 2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是(　 ) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：A 3．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)<f的实数x的取值范围为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由题设得解得－1≤x<. 4．函数f(x)＝在区间[1,5]上的最大值为________，最小值为________． 解析：f(x)在[1,5]上是减函数，所以最大值为f(1)＝＝3，最小值为f(5)＝＝. 答案：3　 5．已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5,20]上单调，则实数k的取值范围是________． 解析：易知f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为x＝k，由题意可得k≤5或k≥20. 答案：(－∞，5]∪[20，＋∞) 基础点　确定函数的单调性或单调区间　 [题点全训] 1．函数f(x)＝的单调递减区间是(　 ) A．(－∞，0)，(0，＋∞) 　　　　 B．(0，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) 　　　　 D．(－∞，0) 解析：选A　因为f(x)＝定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，故函数的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，故选A. 2．(多选)下列是函数f(x)＝|x2－6x＋8|的单调递减区间的是(　 ) A．(－∞，2) B．(－∞，3) C．[3,4] D．(2,3) 解析：选AC　因为f(x)＝|x2－6x＋8|＝ 函数图象如图所示．由图可知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和[3,4]． 3．(多选)在下列函数中，满足对任意x1，x2∈(1，＋∞)，<0的是(　 ) A．f(x)＝－2(x－1)2－2 　 B．f(x)＝3x＋5 C．f(x)＝1＋ 　 D．f(x)＝|x－4| 解析：选AC　若对任意x1，x2∈(1，＋∞)，<0，则由单调性定义可知，函数f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数．对于A，f(x)＝－2(x－1)2－2，其图象开口向下，对称轴为直线x＝1，故f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数，满足题意；对于B，f(x)＝3x＋5为一次函数，且k＝3>0，故f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，不满足题意；对于C，f(x)＝1＋在(1，＋∞)上为减函数，满足题意；对于D，f(x)＝|x－4|＝显然函数在区间(1,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故不满足题意． 4．用定义法证明函数f(x)＝x2－在(0，＋∞)上单调递增． 证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x1<x2.由f(x1)－f(x2)＝－＝(x－x)＋＝(x1－x2)(x1＋x2)＋＝(x1－x