第2章 第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第三节　函数的奇偶性、周期性与对称性 1.结合具体函数，了解奇、偶函数的概念和几何意义. 2.结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义. 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴 对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 周期 函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 3．函数的对称性 (1)①若函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； ②若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点(a,0)对称． (2)两个函数图象的对称 ①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； ②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称； ③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 4．奇函数的特殊性质 (1)若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0. (2)若F(x)＝f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c. 5．函数周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 6．函数对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． 1．(多选)下列给出的函数是奇函数的是(　 ) A．y＝ B．y＝ C．y＝x3＋1 D．y＝sin x 解析：选ABD　在A中，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，因为f(－x)＝－＝－f(x)，所以y＝为奇函数．在B中，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝＝－f(x)，所以y＝为奇函数．在C中，y＝x3＋1的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以y＝x3＋1不是奇函数．在D中，y＝sin x的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x)，所以y＝sin x是奇函数，故选A、B、D. 2．已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________. 答案：－ 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________． 答案： 4．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝________. 解析：因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 答案：－1 基础点　判断函数的奇偶性　 [题点全训] 1．以下函数图象中为奇函数的是(　 ) 解析：选A　因为奇函数的图象关于原点对称，所以只有选项A符合，故选A. 2．下列函数是偶函数的是(　 ) A．f(x)＝xcos x B．f(x)＝ C．f(x)＝lg|x| D．f(x)＝ex－e－x 解析：选C　对于A，定义域为R，f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，f(x)是奇函数；对于B，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，f(x)是偶函数；对于D，定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，f(x)是奇函数． 3．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　 ) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析：选B　f(x－1)－1＝－1＝，不是奇函数，故选项A不符合题意；f(x－1)＋