第2章 第5节 二次函数与幂函数（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第五节　二次函数与幂函数 1.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况；了解幂函数的概念. 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是 顶点式 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n) 零点式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝ (2)二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 续表 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数，在上是增函数 在上是增函数，在上是减函数 1．若函数f(x)＝xα的图象经过点，则f＝(　 ) A. B．3 C．9 D．8 解析：选B　由题意知f(9)＝，所以9α＝，即32α＝3－1，所以α＝－，所以f(x)＝x－，所以f＝＝3.故选B. 2．若一次函数y＝ax＋b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是(　 ) 解析：选C　因为一次函数y＝ax＋b的图象经过二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴x＝－<0，且过原点，所以A、B、D不正确． 3．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上单调，则实数k的取值范围是________． 答案：(－∞，40]∪[160，＋∞) 4．已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是______．(用“<”连接) 解析：由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 答案：c<b<a 基础点(一)　幂函数的图象与性质　 [题点全训] 1．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　 ) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 解析：选D　幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0，综上所述，选D. 2．(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2)，则下列命题正确的有(　 ) A．函数f(x)为非奇非偶函数 B．函数f(x)的定义域为R C．f(x)的单调递增区间为[0，＋∞) D．若x2>x1>0，则>f 解析：选AC　设幂函数f(x)＝xα，α为实数，其图象经过点(4,2)，所以4α＝2，则α＝，所以f(x)＝x，定义域为[0，＋∞)，f(x)为非奇非偶函数，故A正确，B错误；且f(x)＝x在[0，＋∞)上为增函数，故C正确；因为函数f(x)＝x是增函数，所以对定义域内任意x1<x2，都有<f成立，故D错误．故选A、C. 3．若幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________. 解析：易知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2. 答案：2 4．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________． 解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a<. 答案： [一“点”就过] (1)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 基础点(二)　求二次函数的解析式　 [题点全训] 1．已知二次函数图象的顶点坐标为