第2章 第10节 函数与方程的综合问题(习题课)（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第十节　函数与方程的综合问题(习题课)　　　　 考法一　由函数零点存在情况求参数范围 [典例]　(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　 ) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C. D. (2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　 ) A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) [解析]　(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t∈.即a∈. (2)令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C. [答案]　(1)D　(2)C [方法技巧]　 由函数零点个数或所在区间求参数的方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围 分离参数法 先将参数分离，然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决 数形结合法 将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图象求解 [针对训练] 1．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　 ) A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 解析：选C　由题意，知函数f(x)在(1,2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1,2)内，所以即解得0<a<3，故选C. 2．(2023·武汉模拟)已知函数f(x)＝若函数f(x)－m＝0有三个零点，则实数m的取值范围是(　 ) A．(1,2] B．(1,2) C．(0,1) D．[1，＋∞) 解析：选A　因为函数f(x)－m＝0有三个零点，所以函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，函数f(x)的图象如图所示，由图可知，1<m≤2，故选A. 考法二　函数的零点和范围问题 [典例]　(多选)已知函数f(x)＝ 若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则下列结论正确的是(　 ) A．x1＋x2＝2 B．x3x4＝1 C．0<x1＋x2＋x3＋x4<1 D．0<x1x2x3x4<1 [解析]　函数f(x)＝的图象如图所示，设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0<t<1，则直线y＝t与函数y＝f(x)的图象的4个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4，函数y＝－x2－2x的图象关于直线x＝－1对称，则x1＋x2＝－2，A不正确；由图象可知|log2x3|＝|log2x4|，且0<x3<1<x4，∴－log2x3＝log2x4，即log2(x3x4)＝0，∴x3x4＝1，B正确；由图象可知，|log2x3|∈(0,1)，则0<－log2x3<1，可得<x3<1，∴x1＋x2＋x3＋x4＝x3＋－2∈，C正确；由图象可知－2<x1<－1，∴x1x2x3x4＝x1(－2－x1)＝－x－2x1∈(0,1)，D正确． [答案]　BCD [方法技巧] 求函数多个零点(或方程的根)的和的策略 求函数的多个零点(或方程的根以及直线y＝m与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称、直线的对称等)．　　 [针对训练] (多选)(2023·威海模拟)已知函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝k，且x1<x2<x3，则下列说法正确的有(　 ) A．f(x)的值域为[－4，＋∞) B．k的取值范围为(－4，－3] C．x3∈(e－2，e－1] D．x2＋x3＝0 解析：选BC　作出函数f(x)的图象， 由图象可知函数的值域为R，故A错误；函数y＝x2＋2x－3的对称轴为直线x＝－1，顶点为(－1，－4)，对于函数y＝－2＋ln x，当y＝－4时，x＝e－2，当y＝－3时，x＝e－1，因为互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝k，且x1<x2<x3，故k的取值范围为(－4，－3]，故B正确；由题可知－2＋ln x3∈(－4