第1章 第2节 常用逻辑用语（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第二节　常用逻辑用语 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2.理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，理解数学定义与充要条件的关系. 3.理解全称量词命题与存在量词命题的意义，能正确对两种命题进行否定. 1．充分条件与必要条件的相关概念 记p，q对应的集合分别为A，B，则 p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p A⊇B p是q的充要条件 p⇒q且q⇒p A＝B p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp AB p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p AB p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p AB且A⊉B 2.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、对某些等 ∃ 3.全称(存在)量词命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) 存在量词命题 存在M中的一个x，p(x)成立 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 1．(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则(　 ) A．p是真命题 B．綈p：∀x∈R，x＋2>0 C．綈p是真命题 D．綈p：∃x∈R，x＋2>0 答案：CD 2．设x＞0，y＞0，则x2>y2是x>y的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 3．在△ABC中，“sin A＝”是“A＝”的(　 ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 4．若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围是________． 答案：(－∞，1) 5．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________． 答案：(－∞，3) 基础点(一)　含量词命题的否定　 [题点全训] 1．(2022·九江二模)已知命题p：∀x≥0，cos x≤ex，则綈p为(　 ) A．∀x≥0，cos x>ex B．∃x0<0，cos x0>ex0 C．∀x<0，cos x>ex D．∃x0≥0，cos x0>ex0 解析：选D　由否定的定义可知，綈p为∃x0≥0，cos x0>ex0.故选D. 2．已知命题p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为(　 ) A．∃x∈R，ex－x－1≥0 　 B．∃x∈R，ex－x－1＞0 C．∀x∈R，ex－x－1＞0 　 D．∀x∈R，ex－x－1≥0 答案：C 3．设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为(　 ) A．所有正方形都不是平行四边形 B．有的平行四边形不是正方形 C．有的正方形不是平行四边形 D．不是正方形的四边形不是平行四边形 答案：C 基础点(二)　含量词命题的真假判断　 [题点全训] 1．下列命题为假命题的是(　 ) A．∀x∈R,2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0 C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，tan x＝2 解析：选B　当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当x＝1时取等号，故B不正确；易知A、C、D正确，故选B. 2．(多选)给出下列命题，其中假命题为(　 ) A．∃a∈R，ln(a2＋1)<0 B．∀a>2，a2>2a C．∀α，β∈R，sin(α－β)＝sin α－sin β D．∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β 解析：选ABC　ln(a2＋1)≥ln 1＝0，所以A是假命题； 当a＝4时，a2＝42＝16＝2a＝24，所以B是假命题； 当α＝，β＝时，左边＝，右边＝－，所以C是假命题； 当α＝0，β＝0时，sin(α＋β)＝sin 0＝0＝sin α＋sin β，所以D是真命题． [一“点”就过] (1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论． (2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可． 充分、必要条件的判断 [典例]　(1)(2022·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要