第04讲 数列求和综合（含裂项相消、错位相减法万能公式等,6类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（新教材新高考）

第04讲 数列求和综合（附加错位相减法万能公式）（核心考点精讲精练） 1. 4年真题考点分布 4年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年新Ⅱ卷，第18题,12分 分组 (并项)-奇偶项求和 利用定义求等差数列通项公式 等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 2023年全国甲卷（理科）， 第17题,10分 错位相减法求和 利用与关系求通项或项 2022年新I卷，第17题,10分 裂项相消法求和 利用与关系求通项或项 累乘法求数列通项 利用等差数列通项公式求数列中的项 2022年新Ⅱ卷，第22题,12分 裂项相消法求和 利用导数研究不等式恒成立问题 含参分类讨论求函数的单调区间 2021年新I卷，第16题,5分 错位相减法求和 数与式中的归纳推理 2021年新I卷，第17题,10分 分组 (并项)-奇偶项求和 由递推数列研究数列的有关性质 利用定义求等差数列通项公式 求等差数列前n项和 2021年全国乙卷（文科）， 第19题,12分 错位相减法求和 等差中项的应用 等比数列通项公式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5-12分 【备考策略】1.熟练掌握裂项相消求和 2.熟练掌握错位相减求和 3.熟练掌握拆项分组求和法、并项转化求和法、倒序相加求和法，能综合解决数列的求和问题 4.熟练掌握数列中不等式的综合问题 【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常考查裂项相消求和、错位相减求和、奇偶并项求和，需重点综合复习 知识讲解 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 4．倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． 5．错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 万能公式： 形如的数列求和为， 其中，， 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 考点一、公式法直接求和 1．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 2．（2021·全国·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 3．（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 4．（2020·全国·统考高考真题）设等比数列{an}满足，． （1）求{an}的通项公式； （2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m． 1．（2023·湖北武汉·统考三模）已知各项均不为零的数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求正整数的最大值. 2．（2023·贵州贵阳·校联考三模）设数列的前项和为，当时，有． (1)求证：数列是等差数列； (2)若，，求的最大值． 3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列的前n项和. 4．（2023·广西·统考模拟预测）已知数列为等比数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求使成立的正整数的最大值. 考点二、分组转化求和 1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列是首项为1，公差为d的等差数列，且，，是等比数列的前三项． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 2．（2023·四川南充·统考三模）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设数列满足：，记的前项和为，求. 3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知是数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 1．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列为单调递增的等比数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知数列满足，． (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列满足． (1)证明是等