专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件（五个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第一册）

2.2充分条件、必要条件、充要条件 知识点1 充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件p 不能推出结论q,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 知识点2 充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 重难点1 充分、必要条件的判定 【例1】已知，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 充分、必要条件的判断方法 （1）定义法：首先分清条件和结论，然后判断和是否成立，最后得出结论． （2）集合判断法：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件 【变式1-1】（多选）下列结论正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“是无理数”是“是无理数”的充要条件 C．“a，b都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件 D．“且”是“且”的充分必要条件 【变式1-2】“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】设：实数满足且，：实数满足，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重难点2 探求充分、必要条件 【例3】“”的_____条件是“”. 【例4】成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 探求充分、必要条件问题,首先应确立“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件,其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件,将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件,将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件。 【变式2-1】使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D． 【变式2-2】若，则的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（    ） A． B．或 C． D． 重难点3 充分必要的证明 【例5】已知，设二次函数，其中a，c均为实数.证明:对于任意，均有成立的充要条件是. 【例6】求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 先寻找必要条件,即将探求充要条件的对象视为结论,寻找使之成立的条件;再证明此条件是该对象的充分条件,即从必要性和充分性两方面说明。 【变式3-1】设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件． 【变式3-2】已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 【变式3-3】命题p：“△ABC的内心与外心重合”是命题q：“△ABC是正三角形”的什么条件？ 重难点4 探求命题为真的充要条件 【例7】已知a、b、c为的三边长，集合，． (1)若，求； (2)求的充要条件． 【例8】方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 探求充要条件的2种方法： （1）先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． （2）将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证 【变式4-1】求关于的方程至少有一个负的实数根的充要条件． 【变式4-2】设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【变式4-3】已和知集合，集合，命题，命题. （1）当实数为何值时，是的充要条件； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 重难点5 根据充分、必要条件确定参数的取值范围 【例9】（多选）已知命