重难点突破04 立体几何中的轨迹问题（六大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

重难点突破04 立体几何中的轨迹问题 目录 立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结： 1、定义法 2、交轨法 3、几何法 4、坐标法 5、向量法 题型一：由动点保持平行求轨迹 例1．（2023·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试）设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：    ①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为； ②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为； ③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为； ④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为． 其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）在棱长为1的正方体中，E在棱上且满足，点F是侧面上的动点，且面AEC，则动点F在侧面上的轨迹长度为 ． 例3．（2023·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面内（包括边界）一动点，且∥平面EFG，则P点的轨迹长度为    变式1．（2023·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期末）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．若侧面的中心为，为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，则三棱柱的表面积为 ．    变式2．（2023·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为 .    变式3．（2023·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）正方体的棱长为3，点，分别在线段和线段上，且，，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点的轨迹在正方形内的长度为 . 变式4．（2023·全国·高三专题练习）在边长为2的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 ． 变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点在四边形内运动所形成轨迹的长度为 . 变式6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体的棱长为分别为，的中点，点是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为 ． 变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为 . 题型二：由动点保持垂直求轨迹 例4．（2023·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）在棱长为4的正方体中，点P、Q分别是，的中点，点M为正方体表面上一动点，若MP与CQ垂直，则点M所构成的轨迹的周长为 . 例5．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）在正四棱柱中，，E为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为 . 例6．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知为正方体的内切球球面上的动点，为的中点，，若动点的轨迹长度为，则正方体的体积是 . 变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱的所有棱长均为4，空间内的点满足，且，则满足条件的所形成曲线的轨迹的长度为 . 变式9．（2023·四川成都·三模）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为 ． 变式10．（2023·全国·高三专题练习）如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为 ． 变式11．（2023·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）如图，在直三棱柱中，，，，动点在内（包括边界上），且始终满足，则动点的轨迹长度是 . 变式12．（2023·山东枣庄·高一统考期末），分别是棱长为1的正方体的棱的中点，点在正方体的表面上运动，总有，则点的轨迹所围成图形的面积为 .    变式13．（2023·四川广元·高二广元中学校考期中）如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为 ．    变式14．（2023·陕西榆林·高二校考阶段练习）如图，正方体的棱长为，点是棱的中点，点是正方体表面上的动点．若，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D． 题型三：由动点保持等距（或定长