重难点突破03 立体几何中的截面问题（八大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

重难点突破03 立体几何中的截面问题 目录 解决立体几何截面问题的解题策略． 1、坐标法 所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立体几何问题增添了一种代数计算方法． 2、基底法 所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为依托，其理论依据是：若四点E、F、G、H共面，为空间任意点，则有： 结论1：若与不共线，那么； 结论2：． 3、几何法 从几何视角人手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定定理以及平面几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明． 题型一：截面作图 例1．（2023·全国·高一专题练习）如图，正方体的棱长为6，是的中点，点在棱上，且.作出过点，，的平面截正方体所得的截面，写出作法； 例2．（2023·江苏·高一专题练习）如图，棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF. (1)作出截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由； (2)求平面与平面的距离. 例3．（2023·全国·高一专题练习）（1）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______； （2）作出平面与四棱锥的截面，截面多边形的边数为______． 变式1．（2023·全国·高一专题练习）如图①，正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的动点，过点、、的平面截该正方体所得的截面记为.    （1）若，请在图①中作出截面（保留尺规作图痕迹）； （2）若（如图②），试求截面将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比. 变式2．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正方体，点为棱的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：. (3)在图中作出平面截正方体所得的截面图形(如需用到其它点，需用字母标记并说明位置)，并说明理由. 变式3．（2023·江苏·高一专题练习）已知正方体是棱长为1的正方体，M是棱的中点，过C、、M三点作正方体的截面，作出这个截面图并求出截面的面积． 题型二：截面图形的形状、面积及周长问题 例4．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题中正确命题的个数为（    ）                ①当时，S为四边形； ②当时，S为等腰梯形； ③当时，S与的交点满足； ④当时，S为六边形； A．1 B．2 C．3 D．4 例5．（2023·四川成都·高二双流中学校考期中）已知正方体的棱长为,为线段上的动点，过点的平面截该正方体的截面记为，则下列命题正确的个数是（） ①当且时，为等腰梯形； ②当分别为的中点时，几何体的体积为； ③当为中点且时，与的交点为，满足； ④当为中点且时，为五边形. A．1 B．2 C．3 D．4 例6．（2023·全国·高一专题练习）如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（    ） A．当时，为四边形 B．当时，为等腰梯形 C．当时，为六边形 D．当时，的面积为 变式4．（2023·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考开学考试）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．    变式5．（2023·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线上的点（如图），且与平面平行，已知，，则截面面积等于 . 变式6．（2023·江苏泰州·高一泰州中学校考阶段练习）正方体的棱长是，其中是中点，是中点，则过点的截面面积是． 变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱的侧棱长为2，，，过，的中点，作平面与平面垂直，则所得截面周长为 ． 变式8．（2023·全国·高三专题练习）棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则过，，三点的平面截正方体的截面周长为 ． 变式9．（2023·四川泸州·四川省泸县第二中学校联考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体，中，点E为CD的中点，则过点C且与垂直的平面被正方体截得的截面周长为 ． 题型三：截面切割几何体的体积问题 例7．（2023·广东广州·高一统考期末）在棱长为a的正方体中，E，F分别为棱BC，的中点