重难点突破05 立体几何中的常考压轴小题（七大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

重难点突破05 立体几何中的常考压轴小题 目录 题型一：球与截面面积问题 例1．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为的正三角形，，，，过点E作球O的截面，截面面积最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）四面体ABCD的四个顶点都在球的球面上，，，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，现有如下结论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2；②四面体ABCD的体积为；③过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例3．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点是线段的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·宁夏银川·校联考二模）2022年第三十二届足球世界杯在卡塔尔举行，第一届世界杯是1930年举办的，而早在战国中期，中国就有过类似的体育运动项目：蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知半径为的某鞠（球）的表面上有四个点，，，，，，，则该鞠（球）被平面所截的截面圆面积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，分别为的中点，该正方体的外接球为球，则平面截球得到的截面圆的面积为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知球O内切于正方体，P，Q，M，N分别是的中点，则该正方体及其内切球被平面所截得的截面面积之比为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2023·河南洛阳·高三校联考阶段练习）已知三棱锥P-ABC的棱长均为6，且四个顶点均在球心为O的球面上，点E在AB上，，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题 例4．（2023·福建三明·高一校考阶段练习）如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（    ） A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为 C．为定值 D．不确定，与，的位置有关 例5．（2023·四川成都·校考模拟预测）如图，在四棱柱中，底面为正方形，底面，，､分别是棱､上的动点，且，则下列结论中正确的是（    ） A．直线与直线可能异面 B．三棱锥的体积保持不变 C．直线与直线所成角的大小与点的位置有关 D．直线与直线所成角的最大值为 例6．（多选题）（2023·福建三明·统考三模）如图，正方体的棱长为，点是的中点，点是侧面内一动点，则下列结论正确的为（    ）    A．当在上时，三棱锥的体积为定值 B．与所成角正弦的最小值为 C．过作垂直于的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．当时，面积的最小值为 变式5．（多选题）（2023·广东梅州·统考三模）已知正方体的棱长为2，为四边形的中心，为线段上的一个动点，为线段上一点，若三棱锥的体积为定值，则（    ） A． B． C． D． 变式6．（多选题）（2023·山西大同·高三统考阶段练习）如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点，且，以下结论正确的有（    ）    A． B． C．正方体的体积是三棱锥的体积的12倍 D．异面直线所成的角为定值 变式7．（多选题）（2023·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1，AA1=1，点P满足，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，下列选项正确的是（    ）    A．当λ=1时，△AB1P的周长为定值 B．当μ=1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值 C．当时，有且仅有两个点P，使得A1P⊥BP D．当时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P 变式8．（多选题）（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，则（    ） A． B．当时，有且仅有一个点，使得平面 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，三棱锥的体积为定值 变式9．（多选题）（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，为正方体.任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（    ）    A．S为定值