第03讲 圆的方程(知识题型精讲）-【学霸之路】2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考）

第03讲 圆的方程 目录 第一部分：知识点必背 2 知识点三：圆上的点到定点的最大、最小距离 3 第二部分：高考真题回归 3 第三部分：高频考点一遍过 4 高频考点一：圆的标准方程 4 高频考点二：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 5 高频考点三：圆的一般方程 6 高频考点四：圆的标准方程与一般方程互化 6 高频考点五：点与圆的位置关系 7 高频考点六：与圆有关的轨迹问题 7 高频考点七：与圆有关的几何意义求最值 8 高频考点八：利用圆的对称性求最值 9 高频考点九：建立函数关系求与圆有关的最值问题 10 第四部分：数学文化题 11 第一部分：知识点必背 知识点一：圆的定义和圆的方程 1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 2、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3、圆的一般式方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 知识点二：点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点三：圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 第二部分：高考真题回归 1．（2022·北京·统考高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（2022·全国（甲卷文）·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 3．（2022·全国（乙卷文理）·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：圆的标准方程 典型例题 例题1．（2023·重庆·高二统考学业考试）已知圆的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023·陕西咸阳·校考一模）圆心在轴，半径为1，且过点的圆的标准方程是 . 例题3．（2023·全国·高三专题练习）求满足下列条件的圆的方程，并画出图形： (1)经过点和，圆心在轴上； (2)经过直线与的交点，圆心为点； (3)经过，两点，且圆心在直线上； 练透核心考点 1．（2023春·广东茂名·高二统考期末）圆心在直线上，且过点的圆的标准方程为 . 2．（2023·全国·高三专题练习）若圆C的圆心在直线上，且圆C与x轴的交点分别为，，求圆C的方程． 3．（2023春·江西宜春·高二上高中学校考期末）已知圆过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）将圆向上平移1个单位长度后得到圆，求圆的标准方程． 高频考点二：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 典型例题 例题1．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）已知曲线（    ） A．若，则是圆 B．若，，则是圆 C．若，，则是直线 D．若，，则是直线 例题2．（2023·全国·高三专题练习）“方程表示的图形是圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期中）若方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是 ． 练透核心考点 1．（2023·上海·高二专题练习）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·广东湛江·高二统考期末）已知表示的曲线是圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）若方程表示圆，则的取值范围是 ． 高频考点三：圆的一般方程 典型例题 例题1．（2023秋·高二课时练习）求经过三点，，的圆的方程． 例题2．（2023·全国·高三对口高考）经过三点的圆的方程为 ． 练透核心考点 1．（2023·天津·统考二模）经过点的圆的方程为 . 2．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）三个顶点的坐标分别是，则外接圆的标准方程是 . 高频考点四：圆的标准方程与一般方程互化 典型例题 例题1．（2023春·河南驻马店·高二统考期末）直线平分圆（），则（    ） A．1 B．-1 C．3 D．-3 例题