13.3.2 空间图形的体积 课件-2022-2023学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第13章 立体几何初步 13.3.2 空间图形的体积 新知探索 棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h， 则V=Sh. 棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h， 则V=Sh. 棱台：棱台的上、下底面面积分别为S′、S， 高为h，则V=(S+S′+) h. 新知探索 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh S为圆柱的 ，h为圆柱的高 圆锥 S为圆锥的 ，h为圆锥的高 圆台 S′，S分别为圆台的 ，h为圆台的____ 底面积 底面积 上、下底面面积 高 上底缩小 思考: 圆柱、圆锥和圆台的体积公式之间有什么关系？ S为底面面积， h为圆锥的高. 分别为上、下底面 面积，h 为圆台的高. S为底面面积， h为圆柱的高. 上底扩大 =0 新知探索 球的体积公式的推导 圆的面积公式的推导 分割次数越多，每个扇形就越接近于 三角形，扇形的弧可以看作三角形的 底，半径可以看作是三角形的高， 所以每个三角形的面积为 Si=rli(li为扇形的弧长). 故圆的面积为 S=r(l1+l2+…+ln)=rl=r×2πr=πr2. O D C B A 将球的表面分成n个小网格，将整个球体分成n个“小锥体”.当n越大，每个小网格越小，每个小锥体的底面就越平，小锥体近似于棱锥，其高近似于球的半径R， 体积为SABCDR.球的体积为n个小锥体体积之和，而这n个小锥体的底面积之和为球的表面积S，故球的体积V=SR=×4πR2×R=πR3. 类比 O D C B A 将球的表面分成n个小网格，将整个球体分成n个“小锥体”.当n越大，每个小网格越小，每个小锥体的底面就越平，小锥体近似于棱锥，其高近似于球的半径R，底面积分别为S1，S2，S3，…，其和趋近于球的面积.故球的体积πR3=S1R+S2R+S3R+…=×S球面×R. ∴ S球面=4πR2. 类比 典例精析 题型一：圆柱、圆锥、圆台的体积 例1　(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是 解　作圆锥的轴截面，如图所示： 由题设，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB. 设圆锥的高为h，底面半径为r， 则h=r，PB=r，S侧=πr·PB=πr2=16π， 所以r=4，高h=4. 所以圆锥的体积V=π×42×4=π. (2)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台 的体积是_______. 解　设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h， 则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π. ∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π. ∴l=2，h= 则V=π(12+22+1×2)×=π. 典例精析 题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积 例2 如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C-A′DD′， 求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比. 解 方法一：设AB=a，AD=b，DD′=c， 则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V=abc， 又S△A′DD′=bc且三棱锥C-A′DD′的高为CD=a. 所以V三棱锥C-A′DD′=S△A′D′D·CD=abc. 则剩余部分的几何体体积V剩=abc-abc=abc. 故V棱锥C-A′DD′∶V剩=abc∶abc=1∶5. 方法二：设底面ADD′A′面积为S，高为h， 则长方体的体积为V=Sh. 而棱锥C-A′DD′的底面面积为S，高为h， 因此棱锥C-A′DD′的体积VC-A′DD′=×Sh=Sh. 剩余部分的体积是Sh-Sh=Sh. 所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5. 例3　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积； 解　设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4， 所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π. 典例精析 题型三：球的表面积和体积 例4 (1) 过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48π cm2，则球的表面积为____cm2.  解 易知截面为一圆面，如图所示，圆O是球的过已知半径的大圆， AB是截面圆的直径，作OC垂直AB于点C，连接OA. 由截面面积为48π cm2，可得AC=4cm. 设OA=R，则OC=， 所以R2-()2=(4)2，解得R=8. 故球的表面积S=4πR2=256π(cm2). 典例精析 题型四：球的截面问题 (2)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为 . 解 设截面圆的半径为r，则πr2=π，故r=1， 由勾股定理求得球的半径为， 所以球的体积为V=.