专题05 二次函数中线段最值的三种考法-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题05 二次函数中线段最值的三种考法 类型一、单线段转化为二次函数最值问题 例．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上；    (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值； (3)若点M是直线下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段交于点N，求线段的最大值． 【变式训练1】如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，且经过x轴上的两点A、B与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值； (3)当取最大值时，求的面积． 类型二、将军饮马型最值问题 例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点．    (1)求抛物线与直线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值； 【变式训练1】如图，已知抛物线与x轴相交于、两点，并与直线交于、两点，其中点是直线与轴的交点，连接．    (1)求、两点坐标以及抛物线的解析式； (2)证明：为直角三角形； (3)求抛物线的顶点的坐标，并求出四边形的面积； (4)在抛物线的对称轴上有一点，当周长的最小时，直接写出点的坐标． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P是位于直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标； (4)若点E为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，是否存在点M、N使四边形的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、胡不归最值问题 例．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【变式训练1】如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．    (1)求抛物线和一次函数的解析式． (2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由． (3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？ 【变式训练2】已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式与顶点D的坐标； (2)如图1，点P是抛物线上位于直线下方的一动点，连接与相交于点E，已知，求点E的坐标； (3)如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线对称轴上有一个动点M，连接．求的最小值． 【变式训练3】已知抛物线过点，两点，与轴交于点，，    (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 课后训练 1．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点P是该抛物线上的动点，设点P的横坐标为t（）． ①当时，求此时四边形的面积； ②如图2，过点P作轴于点D，作轴于点E，当时，求t的值； ③如图3，连接，过点P作于点D，求线段的长的最大值，并求出点P的坐标． 2．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．    (1)填空：_________，_________，_________； (2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值． 3．如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中点A的坐标为．    (1)写出C点的