第72讲 圆锥曲线中的探索性问题（微专题）-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第72讲 圆锥曲线中的探索性问题 题型一、是否存在参数的成立问题 例1、（2022·山东淄博·高三期末）已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为，F到渐近线的距离为． (1)求C的方程； (2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 变式1、（2021·江苏南京市高三三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，经过的直线与交于两点. （1）若，求长度的最小值； （2）设以为直径的圆交轴于两点，问是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式2、（2021·辽宁实验中学高三模拟）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到右焦点F距离的最大值为3，最小值为 （1）求椭圆的标准方程： （2）设和是通过椭圆的右焦点F的两条弦，且.问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型二、是否存在定点、定值问题 例2、（2023·安徽·统考一模）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点. (1)求双曲线的方程； (2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为. （i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围. 变式1、（2023·湖南邵阳·统考三模）已知椭圆C：的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若.试问：△ABP的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由. 变式2、（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知椭圆. (1)若为椭圆上一定点，证明：直线与椭圆相切； (2)若为椭圆外一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，直线分别交直线于两点，且的面积为8.问：在轴是否存在两个定点，使得为定值.若存在，求的坐标；若不存在，说明理由. 变式3、（2023·河北唐山·统考三模）已知双曲线，左､右顶点分别为，经过右焦点垂直于轴的直线与相交于两点，且. (1)求的方程； (2)若直线与圆相切，且与双曲线左､右两支分别交于，两点，记直线的斜率为，的斜率为，那么是否为定值？并说明理由. 变式4、（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知椭圆的离心率为e，且过，两点.(1)求椭圆E的方程； (2)若经过有两条直线，，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是，的中点.试探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由. 题型三、是否存在定轨迹等问题 例3、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，P为椭圆上的动点.当取最大值时，的面积是 （1）求椭圆的方程： （2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由 变式1、（2022·广东梅州·二模）已知动点到点和直线：的距离相等. (1)求动点的轨迹方程； (2)设点的轨迹为曲线，点在直线上，过的两条直线，与曲线相切，切点分别为A，，以为直径作圆，判断直线和圆的位置关系，并证明你的结论. 变式2、（2021·河北邯郸市高三三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l.设过点F且不与x轴平行的直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M作直线垂直于l，垂足为N，直线MN与抛物线C交于点P. （1）求证：点P是线段MN的中点. （2）若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q，问是否存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 第72讲 圆锥曲线中的探索性问题 题型一、是否存在参数的成立问题 例1、（2022·山东淄博·高三期末）已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为，F到渐近线的距离为． (1)求C的方程； (2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)双曲线一条渐近线方程为 ， 焦点 ，则焦点到准线的距离 ， 由F到渐近线的距离为可知： ， 由渐近线方程为知： ，故 ， 所以双曲线方程为： ； (2)设直线l的方程为 ， 联立 ，整理得： ， 设 ，而 , 则 ， 所以 ， ， 假设存在实数t，使得