课时跟踪检测(4) 基本不等式（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

1/3 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■.ZXxK.c0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 课时跟踪检测（四）基本不等式 一、点全面广强化练 1.已知a,b∈R.且ab≠0.则下列结论恒成立的是() A.a+bz2ab B.ab+ba≥2 C1f(aba)≥2 D.a2+b2>2ab 解析：选C因为ab和ba同号，所以f(aba)=fab)+f(ba)》≥2 \b\lc\l\rc\l(\a\vs4\al\co1(\f(alalvs4\al\co1(\f(ba))=2. 2.设a>0,则a十a+4a的最小值为() A.2a+4 B.2C.4D.5 解析：选Da+a+4a=a+1+4a≥1+24a)=5,当且仅当a=2时取等号，故选 D. 3.已知a>0,b>0,a+b=2,则lga+lgb的最大值为() A.0B.13C12D.1 解析：选A'a>0,b>0,a+b=2,lga+lgb=lgab≤Iglalvs4\al八co1(0f(a+ b2)2=0.当且仅当a=b=1时取等号. 4.设a>0,若关干x的不等式x十ax≥6对x∈(0.十o)恒成立.则a的最小值是() A.1B.4C.9D.16 解析：选C因为a>0.>0.由x+ax≥2ax)=2a,当且仅当x=ax,即x=a时取 等号.则2a≥6.可得a≥9，所以a的最小值是9，故选C 5.已知a>0,b>0,并且1a,12.1b成等差数列.则a+9b的最小值为() A.16B.9C.5D.4 解析：选A:1a,12,1b成等差数列，1a+1b=1,a+9b=(a+9b) 1a1vs4al小co1(0f(11b)=10+ab+9ba≥10+2a9ba=16,当且仅当ab=9ha且1a +1b=1,即a=4,b=43时等号成立.故选A 6.(2023·绍兴高三期末)已知x>0.y>0,满足x2+2xy一2=0，则2x十y的最小值 是() A2)2B.6C.3)2D.3 解析：选B由x2+2y-2=0,可得y=2一×22x,因为x>0.y>0.可得2-x22x >0且0.解得0<x<2,则2x+y=2x+2-x22x=3x2+22x=12 alvs4小al小co1(3x+1f(2x)212×22x)=6,当且仅当3x=2x,即x=6)3时等号成立. 所以2x十y的最小值为6. 7.若01.则x+4x一1的最小值为-- 解析：x+4x-1=x一1十4x-1+1≥4+1=5.当且仅当x-1=4x-1.即x=3时等 号成立 答案：5 8.已知两数y=loga(x一1)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A若直线mx十ny=2过 ·独家授权侵权必究 2/3 色学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxxK.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 点A.其中m.n是正实数.则1m+2n的最小值是 解析：由y=log,(x-1)+2的图象恒过定点A,可知A(2,2).所以2m+2n=2,所以 m+n=1.又因为m>0,n>0,所以\a\vs4\al小co1(0f(12n(m+n)=3+nm+2mn≥3+ 2n2mn=3+22,当且仅当n=2m时取等号 答案：3+22 9.若关于x的不等式x+4x一a≥5在x∈(a,+o)上恒成立.则实数a的最小值为 解析：x十4x一a=x-a十4x一a+a≥5在(a,十o)上恒成立.由0a可得x-a>0. 则(x一)+4(x-a)≥24(x-a)=4.当且仅当x-a=2.即x=a+2时.上式取得最 小值4，又：x-a+4x-a≥5-a在(a,+o)上恒成立，5-a≤4，a21. 答案：1 10.某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m2的矩形停车 北 3 场.停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道 宽3m,东西的人行通道宽4m.如图所示（图中单位：m).问：如何设 停车场 计停车场的边长，守能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？ 3 南 解：设矩形停车场南北侧边长为xm(x>0),则其东西侧边长为1200xm,人行通道 占地面积为S=(x+6八avs4al八co1(0f(1200x)+8)-1200=8x+7200x+48≥27 200x)+48=2×240+48=528m2,当且仅当8x=7200x,即x=30m时等号成立. 5mn=528m2,此时1200x=40m.所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m,东西侧 边长为40m,人行通道占地面积最小为528m2. 11.已知x>0.y>0,且x+y=2. (1)求1x+9y的最小值： (2)若4x+1一mxy20恒成立，求m的最大值 解：(1)由x+y=2.得x2+y2=1.又x>0.yp0.所以1x+9y=\ alvs4\al\co1(f(xy2)\a\v