课时验收评价(59) 圆锥曲线中的证明、存在性问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（五十九）圆锥曲线中的证明、存在性问题 1.在平面直角坐标系xOy中，己知点F2,0),直线1：x=12,点M到1的距离为d, 若点M满足MF=2d,记M的轨迹为C. ()求C的方程： (2)过点F2,0)且斜率不为0的直线m与C交于P,Q两点，设A(-1,),证明：以P, Q为直径的圆经过点A. 解：(1)设点Mx,),则d=x-\f(12),MF=x-22+y2, MF=2d,得x-一22+y2=2x-1f(12),两边平方整理得3x2-2=3, 则所求曲线C的方程为x2-y23=1. (2)证明：设直线m的方程为x=y十2，P(,),Qx,), 联立方程x=ty+2,3x2一y2=3,)消去x并整理得(32-1)2+12y+9=0, 因为直线m与C交于两点，故t≠±3)3，此时4=(12)2-432一1)9=36(+1)>0， 所以片十h=一12t3t2一1，y2=93t2一1，而1十=0h十2)十4，x2=(1+2)2 +2)=y2+201+2)+4. 又=6+1，W,=(+1,, 所以 .=化1+1)+1)+n=2十x1十x2+x战+1=(2+1+3+2)+9 =9t2+93t2-1-36t23t2-1+9=9-3t2+13t2-1+9=0. 所以AP⊥AQ,即以P,Q为直径的圆经过点A 2.如图，椭圆C:x2a2十y2b2=1(a>b>0)的左顶点与上顶点分别 为A,B,右焦点为F,点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，若AB∥OP, H4B=23. (1)求椭圆C的方程： (2)若Q是椭圆C上不同于长轴端点的任意一点，在x轴上是否存在一点D,使得直线 QA与QD的斜率乘积恒为定值？若存在，求出点D的坐标：若不存在，说明理由。 解：(1)由题意得A(一a,0),B0,b),可设P(c,f)t>0),∴.c2a2+t2b2=1,解得t=b2a, P\a\vs4\al\col(c,\f(b2a)), 由AB∥OP,得ba=b2ac,即b=c, ∴.a2=b2+c2=2b2,① 又AB=23,.a2+b2=12,② 由①②得a2=8,b2=4,∴.椭圆C的方程为x28+y24=1. (2)假设存在Dm,0)使得直线QA与OD的斜率乘积恒为定值，设Q,0%≠0)，则8 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 +24=1,③ 设kQ4koD=k(常数)， A(-22,0),.y0x0+2r(2)y0x0-m=k,④ 由③得y20=4alvs4aco1(1-M(xoal(28),⑤ 将⑤代入④，得k=222)-m0x0-2r(2, ∴.2\r(2)-m=0,2\r(2)m=8,）∴.m=22,k=-12, .存在点D(22,0),使得k@4kon=一12（定值）. 3.记以坐标原点为顶点，F1,0)为焦点的抛物线为C,过点F的直线1与抛物线C交于 A,B两点， (1)已知点M的坐标为一2,0)，求∠AMB最大时直线AB的倾斜角： (2)当1的斜率为12时，若平行I的直线与C交于M,N两点，且AM与BN相交于点T, 证明：点T在定直线上 解：(1)设直线的方程为x=m十1，A(1,),Bx,0y1>0,2<0), 记∠AMF=a,∠BMF=B,则tana=y1x1+2=y1my1+3,tanB=-y2x2+2=-y2my2 十3， 则tan∠AMB=tan(a+)=tana+tanB1-tan a tan B =3y1-y2 m2+1y1y2+3ay1+y2+9, 由题设得抛物线方程为2=4x, 联立y2=4x,X=my十1)消去x得)y2一4y一4=0， ∴4>0，y以十y2=4m,y以y2=-4,h一h=42+1, ,.tan∠AB=m2十1)8m2十5，令t=m2十1，则t≥1， ∴tan∠AMB=12t8t2一3=123t,由单羽性得当t=1时，tan∠AMB最大为125，此时 m=0,直线AB的倾斜角为90° 2证明：设7o,,-一=一Q.则由AB∥N得一=一 ∴yM-y0=xyA-y0,yN-y0=入yB-y0,）M+yx-2%=2a+ys-2%). 又k4B=12∴.yA-yBxA-xB=4yA十yB=12→a十yB=8,同理y十w=8, .8-2%=(8-20).又1≠1，.8-2w=0, %=4,点T在定直线y=4上. 4.已知抛物线D的顶点是椭圆x24十y23=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合. (1)求抛物线D的方程； (2)已知动直线I过点P(4,0),交抛物线D于A,B两点，坐标原点O为PQ的中点，求 证：∠AQP=∠BQP: