课时验收评价(57) 圆锥曲线中的最值、范围问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（五十七) 圆锥曲线中的最值、范围问题 1.(2021全国之卷)己知抛物线C:y2=2px(>0)的焦点F到准线的距离为2. ()求C的方程： 2)已知0为坐标原点，点P在C上，点Q满足=9，求直线O0斜率的最大值. 解：(1)由题意，得p=2..抛物线C的方程为y2=2pr=4x 21)知F0,0.设P1,W,Q,>0.=9,即2-，h-W= 91-2,-J2),.y2-y1=9-y2,x2-x1=91-x2,)2=y1109+x110), ∴.ko0=y2x2=1109十x110=y19十x1.要求ko0的最大值，则令>0，得y1=4x1,.ko0 4x1)9+x1=29x1)十v1≤22\r(9)=13,当且仅当x1=9\r(x1),即1=9时，等号成立. 故直线O0斜率的最大值为13. 2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)f的焦距为8，且点alws4 alco1(f(5r(312)在C 上 ()求C的方程： (2)若直线I与C相交于A,B两点，且线段AB被直线OM平分，求△4OB(O为坐标原 点面积的最大值， 解：(1)依题意可知f(7514b22c=8,a2=b2十c2,解得a2=20,b2=4,)故C的方程为 x220+y24=1. (2)易得直线OM的方程为y=-15\r(3)x, 设A1,,B(x2,),R(,)为AB的中点，其中%=一15r(3)x, 因为A,B在椭圆上，所以f(xoal(2 lolal(214 xlotal(2z川olal2z4)=1,两式相减可得kaB =y1-y2x1-x2=-420×x1+x2y1十y2=-15×2x02y0=3.可设直线1的方程为y=3x+ m, 联立y=3x224)=1, 整理得16r2+103mx十5m2-20=0, 则4=300m2-64(5m2-20)>0,解得-8<m<8, 则x1十2=-3)8，x2=5m2-2016, 则4B=1+3rc)aws4alco1(-f(5r(35m2-2016 =-5m2+320)4, 原点到直线l的距离d=|m八r(1+3)=|m2, 则△A0B的而积S=12d4B=12×|m2×-5m2+320)4=-5 b\1c\(rc\)(a\vs4a1\co1(m2-32)2+5120)16. ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXK.com● 您身边的互联网+教辅专家 当且仅当m2=32,即m=±42时，△4OB的面积有最大值，且最大值为25. 3.(2023成阳模拟)已知双曲线C:y2a2一x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，且经过A (0,2) ()求双曲线C的方程； (2)若过点B(2,)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P,Q,设PQ中点为M,求 三角形BOM(O为坐标原点)面积的取值范围. 解：(1)双曲线的离心率为2，即ca=2, 因为点A(0,2)在双曲线y2a2一x2b2=1上， 所以4a2=1,a=2,则c=22, 又c2=a2+b2,所以b=2. 所以双曲线C的方程为y2一x2=4. (2)易知直线PQ的斜率不为0， 设直线PQ的方程为x一2=mr(m卡0)， 由x-2=my,y2-x2=4,)得(1-m2y2-4/my-8=0, 设P,Q两点的纵坐标分别为”1,2， 则1-m20,4=16m2十32口1-m2口=1602-m20>0,4m1-m2-81-m2) >0. 解得1<m<2.设点M的纵坐标为m, 则%=y1十y22=2m1-2, SABOM=12X|OB]X ol=12X2X\f (2ml-m2))=2mm2-1=21m,1<m<2. 易知函数y=x一1x在(1,2上单调递增， 所以m-1m∈\a\vs4al\col(0,\f(r(2)2)), 所以三角形BOM面积的取值范围为(22，十©). 4.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0,右焦点(1,0)，离心率为2) 2,过F作两条互相垂直的弦AB,CD. (1)求椭圆的标准方程； (2)求以A,B,C,D为顶点的四边形的面积的取值范围 解：(1)由题意得c=1,ca=2)2,.a=2,则b=c=1,则椭圆的标准方程为x22十y2 =1 (2)①当两直线一条斜率不存在、一条斜率为0时，S=124BCD1=12×22×2=2.②当 两直线斜率存在且都不为0时，设直线AB的方程为y=k(x一1)，As1,y),B2,2),将 其代入椭圆方程整理得(1+2k②x2-42x十2k2-2=0,则1十=4k21十2k2,2=2k2- 21+2k2,则4B=1+k2x1-=2)k2+11+2