课时验收评价(19) 利用导数研究函数零点问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第1页共2页 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（十九） 利用导数研究函数零点问题 1.己知函数fx)=kx一Inx(心0) (1)若k=1,求fx)的单调区间： 2)若函数fx)有且只有一个零点，求实数k的值. 解：(1)若k=1,则x)=x-lnx,定义城为(0，+o,则fx)=1一1x,由f(x>0,得 之1：由f()<0,得0s<1,∴f)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为1，十o). (2)fw)=kx-lnx,fx)=k-1x=kx-1x>0,>0).当0r<1k时，fx)<0:当x >1k时，fx少0.∴.fx)在a\vs4\al\co1(0,\f(1k)上单调递减，在\ a\vs4\al\co1(f(1k),+o)上单调递增，fx)mi=fa\vs4\al\col(f(1k)=1-ln 1k,f)有且只有一个零点，∴1-n1k=0,即k=1e 2,已知函数f)=e一x+1x-1. (1)求曲线y=)在点0,0)处的切线方程： (2)判断函数)的零点的个数，并说明理由。 解：()由x)=e-x+1x-1→fx)=e+2x-12-f(0)=3, 而0)=2，所以该函数在点(0，f0)处的切线方程为y一2=3(x一0)→3x一y十2=0. (2)函数f)的定义城为（一0,1）U(1,+十0)， (1)可知f'(x)=e*+2x一12， 当x∈(-o,1)时，f(x少0，)单羽递增， 因为-2)/0)=\a\vs4\al\col(e-2-1f(13)2=2alvs4 alco1(f113)<0,所以函 数)在x∈（一0,1）上有唯一零点： 当x∈(1，十o)时，f(x少0，fx)单羽递增， 因为f2a\vs4\al\col(f(54)=(e2-3)\a\vs4\al\col(e\f(54)-9)<0,所以函 数f)在x∈(1，十o)上有唯一零点， 所以函数)有2个零点. 3.已知函数f)=x3+x2+ax十b. (1)当a=一1时，求函数f)的单调递增区间： (2)若函数fx)的图象与直线y=x恰有两个不同的交点，求实数b的值. 解：(1)当a=-1时，y=x3十x2-x十b,则f)=3x2+2x-1,由fx少0，得x<-1 或>13，所以函数fx)的单调递增区间为（一o,一1）和\avs4\al\co1(f(13),+∞). (2)函数fx)的图象与直线y=ax恰有两个不同的交点，等价于x)一ar=0有两个不等 的实根.令g)=)一ax=x3+x2十b,则g'()=3x2+2x由g'x>0,得x<-23或0： *独家授权侵权必究· 第2页共2页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 由g'x)<0,得-23<<0. 所以函数g(w)在\a\vs4\al\co1(-∞，一1f(23)和(0，+)上单调递增，在\ a\vs4\al\co1(-\f(23),0)上单调递减. 所以当x=-23时，函数gx)取得极大值g\a\vs4\al\co1(-\f(23)=427十b:当x =0时，函数g(r)取得极小值为g0)=b要满足题意，则需g\a\vs4\al\co1(-\f(23)= 427十b=0或g(0)=b=0,所以b=-427或b=0. 4.(2020全国Ⅲ卷)设函数fx)=xr3+bx十c,曲线y=fx)在点alvs4aco1f(1rc2))处 的切线与y轴垂直。 (1)求b: (2)若x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：x)所有零点的绝对值都不大于1. 解：(1)f)=3x2+b.依题意得f\a\vs4\a1八co1(f(12)=0,即34+b=0.故b=-34. (2)证明：(1)知fx)=x3-34x十e,(x)=3x2-34令f(e)=0,解得x=-12支x=12. 当x变化时，fx),x)的变化情况如下表： \a\vs4\al\col( aws4alcol(- \a\vs4\al\col ( -12 12 -∞，-1f(12) M(112) f(12),+∞） f(x) 十 0 0 十 fx) c+14 c-14 因为f)=f八a\vs4\al\co1(-\f(12)=c+14,所以当c<-14时，f只有大于1的 零点.因为-1)=f八a\vs4\al\co1(f(12)=c-14,所以当心14时，x)只有小于-1 的零点.由题设可知-14c≤14.当c=-14时，)只有两个零点一12和1：当c=14时， fx)只有两个零点-1和12：当一14<c<14时，f)有三个零点1,2，，且∈\ a\vs4\al\col(-1,\f(12)),x2E lals4alcol(