课时验收评价(72) 坐标系（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 课时验收评价（七十二）坐标系 1.(1)若点P的极坐标为八a\vs4\al\co1(3,-1f(r4),求点P的直角坐标： (2)求直线0=重4p∈R)和圆p=2的交点的极坐标， 解：()由x=pcos0,y=psin0)及P的极坐标为\a\vs4\al\co1(3,一V f(x 4)),x=pcos 0=3cos\a\vs4\al\col(-\f 4))=2)2,y=psin 0=3sin \a\vs4\al\co1(-\f(r4))=-2)2,从而P的直角坐标为alws4 alco1(Mf3r23r(22) (2)显然\a\vs4\al\col(2,\f(π4))是一个交点，由于阔和直线都关于原点对称，所以 另一个交点是\a\vs4\al\co1(2,\f(54),所以交点的极坐标为\a\vs4\al\col(2,\ f(r4)),\a\vs4\al\col(2,1f(5n4)). 2.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若直 线1的极坐标方程为pcos\a\vs4\al\col(0-\f(r6)=3. (①)把1的极坐标方程化为直角坐标方程： (2)已知P为椭圆C:x2+y23=1上一点，求P到1的距离的最小值. 解：()由pcos\alvs4\al\col(0-f(r6)=3得pcos Ocos n6+psin Osin6=3) 2pcos 0+12psin 0=3, ∴.直线1的直角坐标方程为3)2x+12y=3,即3x十y一23=0， (2)设P(cos a,3sina),.点P到1的距离d=3)cosa+r(3)sina-2\r(3)|2=1 alvs4lalco1(r(6)sin\bllc\(rc\3))2, ∴.当sin\a\vs4\al\col(a+\f(r4)=1时，dmim=3)-\r(6)2. 3.已知曲线C1:x2+y一3)2=9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点0为极点，x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B, 设点B的轨迹方程为曲线C2: (1)求曲线C1,C2的极坐标方程 (2)射线0=5真6>0与曲线C1,C2分别交于P,Q两点，定点M(-4,0),求△MPQ的 面积. 解：()曲线C1:x2十0-3)2=9，即x2+y2-6y=0.从而p2=6psin0. 所以曲线C1的极坐标方程为p=6sin8. 设Bp,,则A\avs4\al\col(p,0-f(r2)). 则有p=6sin\a\vs4\al\col(0-\f(r2)=-6cosa. 所以曲线C2的极坐标方程为p=一6cos0. (2)M到射线0=5r6(p>0)的距离为d=4sin5r6=2, 射线0=5r6(p>0)与曲线C1的交点P\a\vs4\al\col(pP,\f(5r6)), 其中，pp=6sin5r6=3, ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 射线0=5r6(p>0)与曲线C2的交点Qa\vs4\al\co1(pQ,\f(5r6)), 其中，p0=-6cos5r6=33, 则P2|=pp-pg=33-3,则Sare=12P21d=33-3. 4数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线E: x2十2=a(x2十y2一(>0)的形状如心形（如劉），称这类曲线为心形曲 线.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.当a=2 时， ()求E的极坐标方程； 2)已知P,Q为曲线E上异于O的两点，且一.一-0，求△OP2的面积的最大值。 解：(1)将x=pcos0,y=psin0代入曲线E, 得p2=2p-psin),即p=2(1-sin0, 所以E的极坐标方程为p=2(1一sin). (2)不妨设Pp1,0,Q\a1vs4\al\co1(p2,0+\f(r2),即p1=2(1-sin0,p2=2 Aa\vs4\al\col(1-sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\col(0 +\f(2))))=2(1-cos), △OPQ的面积S=12pp2=2(1-cos)(1-sin0) =2-2(sin 0++cos 0)+2sin 0cos 0, 由于(sin0+cos02=1+2sin0cos0, 令t=sin0+cos0,则t∈[-2,2,2 sin Ocos0=2-1, 则S=2-2t+t2-1=2-21+1=t-1)2, 故当1=-2时，Smm=(-2-1)2=3十22， 即△OPQ的面积的最大值为3+22. 5.以平面直角坐标系的原点O