课时验收评价(62) 圆锥曲线中的定点、定值问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（六十二)圆锥曲线中的定点、定值问题 1.(2023开东模拟)已知圆M经过点(0,1)，且与直线y=一1相切，圆心M的轨迹为C. ()求C的方程： (2)经过点N0,2)且不平行于x轴的直线与C交于P,Q两点，点P关于y轴的对称点为 R,证明：直线QR经过定点. 解：(1)设圆心M(化)，根据题意可得，点M到点(0,1)的距离与到直线y=一1的距离相 等， 即圆心M的轨迹是以(0,1)为焦点，y=一1为准线的抛物线，所以圆心M的轨迹方程为 x2=4 (②)证明：根据题意可知，直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ:y=x十2作≠0)， Palys4alcol(x1,f(xolal(24),Qalvs4anco1(x2,f(xlolal(224),Rawvs4lalcol(-x1,\ f(x\olal(24), 联立方程y=kx十2，x2=4y,)消去y得x2一4一8=0， 则4=16k2+32>0,十2=4k,x3=一8， 直线QR的斜率koR=xlolal(22 xolal(214x2十xl=x2-x14, 直线QR的方程为y-224=x2-x14x一)，整理得y=x2-x14x十x1x24, 即直线QR的方程为y=x2一x14x一2， 则直线QR经过定点(0，一2)， 2.(2023南通模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1\rc\)(a\vs4\al\co1(a>b>0)的离心 率为5)5，A1,4是C的上、下顶点，且4142=2.过点P0,2)的直线1交C于B,D两点（异 于A,A),直线AB与AD交于点Q (①)求C的方程： (2)证明：点Q的纵坐标为定值 解：(1)因为44=2b=2,所以b=1, 因为e=ca=5)5,其中c2=a2-b2, 所以设c=5)5a,b2=a2-c2=a25,解得a2=5. 所以椭圆C的方程为x25+y2=1. (2)证明：显然直线1的斜率存在， 设直线1的方程为y=kx十2， 联立直线I与椭閩C的方程，消去y得1+5k3)x2+20kx十15=0. 设B1,),D,), 当4=400k2-60(1+5k3=20(5k2-3)P0, 即k今35时，有x1+x龙2=-20k1+5k2,x=151+5k2. ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b2KXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 直线A1B方程为y一1=y1一1x1x,直线AzD方程为y+1=y2十1x2x 两式相除得y一1y+1=x2y1-1x1y2+1=x2kx1+1x1kx2+3 =kx1x2+x2kx1x2十3x1,因为kx12=-34x1十x), 所以y-1y+1=314934=-13, 整理得y=12,即点Q的纵坐标为定值12 3.已知抛物线C:y2=2pxp>0),其焦点为F,O为坐标原点，直线1与抛物线C相交 于不同的两点A,B,M为AB的中点。 (1)若p=2,M的坐标为1,1)，求直线1的方程 (2)若直线I过焦点F,AB的垂直平分线交x轴于点N,求证：2|MN2FN为定值。 解：()由题意知直线I的斜率存在且不为0， 故设直线I的方程为x一1=一1)， 即x=y十1一1，设A:1,),B(,). 由x=ty+1-t,y2=4x,)得y2-4-4+4t=0, ∴.4=16t2+16-161=16(t2-t+1)>0,h+2=41, ∴.4t=2,即1=12 ∴.直线1的方程为2x一y一1=0 (2)证明：，抛物线C:2=2x(p>0),.焦点F的坐标为\a1vs4\al\co1(f(p2),0). 由题意知直线1的斜率存在且不为0， ,直线l过焦点F,故设直线I的方程为x=y十p2≠0)，设A(6,),B(,,). 由x=y+p22=2px,得)2-2pt0一p2=0, ∴.4=4p2+4p2>0,h1十2=2pt. x1十x=0十)十+p=2pt2十p, ..M\a\vs4\al\col(pt2+\f (p2),pt), .MN的方程为y-pt=-t八a\vs4\al\col(x-pt2-\f(p2)). 令y=0,解得x=pt2+3p2,∴.Navs4\al\col(pt2+\f(3p2),0), ..IMN2=p2+p212,FM=pR2+3p2-p2=pr2+p, ∴.2|MN2FN|=2p2十p2t2pt2+D=2p,为定值. 4.椭圆C的方程为x2a2十y2b2=1(a>b>0),过椭圆左焦点F1且垂直于x轴的直线在 第二象限与椭圆相交于点P,椭圆的右焦点为F,己知tn∠PFF1=3)12,椭圆过点A \a\vs4\al\co1(r(3),\f(12)).