课时验收评价(75) 不等式的证明（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（七十五) 不等式的证明 1.若a>0,b>0,且1a+1b=ah. ()求a3+b3的最小值： (2)是否存在a,b,使得2a十3b=6？并说明理由. 解：()由ab=1a+1b≥2r(ab), 得ab≥2，当且仅当a=b=2时等号成立. 枚a3+b3≥2a3b3≥42， 当且仅当a=b=2时等号成立. 所以a3+b3的最小值为42. (2)l(1)知，2a+3b≥26ab≥43. 由于43>6，从而不存在a,b,使得2a十3b=6. 2.()设x≥1，y≥1，证明：x+y+1xy≤1x+1y十y: (2)设1<a≤b≤c, 证明：logb十logc十log a <log4十logb十logac. 证明：(1)由于x≥1，y≥1， 所以x+y+1xy≤1x+1y+(x+)+1 ≤y+x十)2 将上式的右式减左式， 得十x十(y)月-+)+1刂 =y)2-1-rc+y-(x+川 =(y+1)一1)-(+y一1) =(一1)(y一x一y十1) =(xy一1)x-1)0y-1). 因为x≥1，y≥1，所以y-1)e一1)0一1)≥0， 从而所要证明的不等式成立。 (2)设logb=x,logsc=y,由对数的换底公式得 log a=1xy,logna=1x,log,b=1y,log.c=xy. 于是，所要证明的不等式即为x十y+1xy≤1x+1y十y,其中x=logb≥1，y=logc≥ 故由(1)可知所要证明的不等式成立 3.己知函数x)=十x一耳， (I)若x)≥m一1恒成立，求实数m的最大值M (2)在(1)成立的条件下，正实数a,b满足a2+b2=M,证明：a+b≥2ab. 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b2XXK.com● 您身边的互联网+教辅专家 解：(1)由己知可得fx)=1-2x,x<0,1,0sx<1,2x-1,x之1， .f)min-1, .只需m一1川≤1， 解得-1≤m-1≤1， ∴.0≤m≤2， ∴.实数m的最大值M=2. (2)证明：法一：综合法 ,a2+b2≥2ab,∴.ab≤1， .ab≤1，当且仅当a=b时取等号.① 又ab≤a+b2,.ab)a+b≤12， ∴.aba+b≤ab)2,当且仅当a=b时取等号，② 由①②得aba+b≤12，∴.a+b≥2ab. 法二：分析法 .a>0,b>0, ∴.要证a十b≥2ab, 只需证(a+b)2≥4a2b2, 即证a2+b2+2ab≥4ab2, a2十b2=2,.只要证2+2ab≥4a2b2, 即证2(ab)2-ab-1≤0， 即证(2ab+1)(ab一1)≤0 2ab十1>0，∴.只需证ab≤1，下证ab≤1. 2=a2+b2≥2ab,∴ab≤1成立， ∴.a十b≥2ab. 4.已知函数f)=x一\f(12)+x十\f(12)),M为不等式fx)2的解集 ()求M (2)证明：当a,b∈M时，a十bl1+abl 解：(1)x)=-2x,x≤-f(1211212). 当x≤-12时，由f)<2,得-2r<2, 解得心一1，即一1<x≤-12： 当-12<<12时，fx)<2恒成立， 即-12<x<12: 当x≥12时，由x)<2,得22， 解得x<1,即12≤x<1. 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 所以f)2的解集M={一1x<1}. (2)证明：由(1)知，当a,b∈M时，一1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1十ab)2=a2+ b2-a2b2-1=(a2-1)1-b2<0.因此a+b11+abl 5.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=3.证明： (10a2+b2+c2≥3： (2)1a+1b+1c≥3. 证明：(1)因为a2+b2+c2(12+12+1)≥(a×1+b×1+c×1)2=9,所以a2+b2+c2≥3， 当且仅当a=b=c=1时，等号成立 (2)因aws4 aNco1(f111c(a+b+c)≥ alws4 alco1(f(1ad-r(ab))-r(bc-r(g2=9,所以1a+1b+1c≥3，当且仅当a=b=c=1 时，等号成立 6.函数fx)=2x-2十2x+1 (①)求函数y=x)的最小值： (2)若(1)中fx)f的最小值为k,且实数a,b,c满足a十2b+4c=k.求证：a2+2ab+2b2+ c2≥12. 解：()当x≥1时，fx)=4x一1，fx)为单调递增函数，所以此时y=f)的最小值为f (1)=3: 当一12<<1时，x)=3,所以此时y=fx)没有最大、最小值： 当x≤-1