课时验收评价(52) 立体几何中的综合问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 课时验收评价（五十二)立体几何中的综合问题 1.(223·山西高三阶段练)如图，点E在△4BC内，DE是三棱锥 D4BC的高，且DE=2.△ABC是边长为6的正三角形，DB=DC=5,F 为BC中点. (①)证明：点E在AF上 (2)点G是棱AC上的一点（不含端点，求平面DEG与平面BCD夹角余弦值的最大值 解：()证明：连接EF,DF 因为DE是三棱锥D-ABC的高，即DE⊥平面ABC,因为BCC平面ABC, 所以DE⊥BC 因为DB=DC=5,BC的中点为F,所以DF⊥BC, 因为DEODF=D,DE,DFC平面DEF, 所以BC⊥平面DEF, 因为EFC平面DEF,所以BC⊥EF 又因为△MBC是边长为6的正三角形，BC的中点为F,所以BC⊥AF,即点E在AF 上 (2)结合(1)得，AF=33,DF=BD2-BF2=4,EF=DF2-DE2=23,AE=AF-EF=3. 过点E作EH∥BC,交AC于H, 结合(1)可知EF,EH,ED两两垂直， 所以以E为坐标原点，一一，一一， 一的方向分别为，y,:轴的正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系， A(-3,0,0),B23,-3,0),C23,3,0),D0,0,2), 所以 =(-23,32. =0,6,0. 设平面BCD的法向量为m=(2,2,), 则o(BD-BC-m0,即-2\r(3)x2+3y2+2z2=0,6y2=0,） 取2=1，则m=(1,0,3). 又=33,3,0， 设一=2,1∈(0,1). 所以一=+ 1=(-3,0,0)+133,3,0)=(331-3,32,0). 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 设平面DEG的法向量为u=(c3,3,3), 则o(ED一→G--→u=0,即2z3=0,3\r(3)x-1r(3) x3十3入y3=0,)取 =3,则u=1a\vs4\a1\co1(r(3),1f(1入)-3,0). 所以cosu,m=u·mulm=33+bNc0rc)-3)2≤12，当且仅当2=13时，等号 成立.所以平面DEG与平面BCD夹角余弦值的最大值为12. 2.(2023·青岛二中高三期中)在多面体ABCDEF中，平面ABCD为 正方形，AB=2,AE=3,DE=5,二面角E-AD-C的平面角的余弦值 为5)5，且EF∥BD. (①)证明：平面ABCD⊥平面DCE: ②)若一=2>0，求平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值的取值范围。 解：()证明：AB=AD=2,AE=3,DE=5, .AD2+DE2=AE,即AD⊥DE, 又，在正方形ABCD中，AD⊥DC, 且DEnDC=D,DEc平面EDC,DCC平面EDC, AD⊥平面EDC,又ADC平面ABCD, .平面ABCD⊥平面EDC (2)由(1)知，∠EDC是二面角E-AD-C的平面角， 作OE⊥CD于点O,则OD=DE·cos∠EDC=1,OE=2,且平面ABCD⊥平面EDC, 平面ABCDn平面EDC=CD,OEc平面EDC, OE⊥平面ABCD, 取AB中点M,连接OM,则OM⊥CD, 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,-1,0),B2,1,0),D0,-1,0),C0,1,0),E (0,02), ÷=02,0,-=22,22,0,-=01,-2, 设平面CEF的一个法向量为m=(代，y,), 则m·1o(EC-EF-》-2x+2y0,取m=\a\vs4\a1\co1(1,-1,-1f(12)), 又=(22-2,21-1,2)，=0,2,0， 设平面ABF的一个法向量为n=(a,b,c), 则n·\o(aB-BF-》-2-2at2-1b+2c0, 取n=(2,0,2-2), 。独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 c0sm,n=M2-1+1+1+Mf14+401-2.02) =|入+13\r(1+A-12)=13x2+2x+1X2-2x+2) =13×4rc25rc32)八a\vs4\al\col(x≠\f(14), 令2一14=t八a\vs4\al\col(t>-1f(14)且t≠0)，则根据对勾函数的性质可得t+ 2516t-32<-8或t+2516t-32≥1， 当且仅当t=54时，等号成立. ∴.1+4rc25rc32∈\a\vs4\al\co1(f(12),1)U(1,, ∴lcos m,n|∈alvs4 alco10f(0r(213)U八avs4 alco10f(1r(53); 当=14时，1cos(