课时验收评价(51) 空间向量与空间角（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（五十一)空间向量与空间角 1.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD,则异面 直线AD,BC所成的角为) A.120° B.30° C.90°D.60° 解析：选D建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0),B0,2, 0,C0,0,2,D0,-2,0),.=(-2,-2,0),=0,-2, .2,1=2,一.一=2s,）=0-力 HD一十=22×2=12.∴.异面直线AD,BC所成的角为60°.故选D. 2.如图，在长方体ABCD-A BIC D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1 与平面BB,DD所成角的正弦值为) A.6)3 B.6)5C.15)5 D.10)5 解析：选D如图所示，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),B (2,2,0),C0,2,0),C1(0,2,),.=(-2,0,1).连接AC,易证AC ⊥平面BBD,D,.平面BBDD的一个法向量为a==(一-2,2,0.∴所求角的正弦值为 los(a,-)1=BC1-BC1-y4r(8)Xr(6)=10)5. 3.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD1中，底面边长为2，直线CC1与平面 ACD1所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为) A.2 B.3 C.4D.5 解析：选C以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设DD1=a,则A D 2,0,0,C02,0,D(0,0,,C0,2,,则=(-2,2,0.=(-2,0， a, =0,0,a),设平面ACD1的法向量为n=(c,y,),则n·o(AC- 1D1一》0，∴.-2x+2y=0,-2x十az=0.)令x=1, 可得n=\avs4\al\col(1,1,\f(2a)为平面ACD1的一个法向量，故cos(n,) =CC1一XC1-=2Mf(4a2)+2=2\r(2a2+4). ,直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为13， ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXK.com● 您身边的互联网+教辅专家 ,2\r(2a2+4)=13,解得a=4(-4己舍去). 4.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱 锥称为整周.如图，在整周PABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=2,M 为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为 解析：易知PA LAB,PA⊥BC,AB⊥BC,故以B为坐标原点，BA,BC 所在直线分别为x轴，y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为：轴，建立如图所示的空间 直角坐标系， 则B0,0,0,A(2,0,0,P2,0,2),C(0,2,0),由M为P℃的中点可得M (11,10, =(1,1,10, -=e.0,0,-=e,02. 设n=(x,y,)为平面MBA的一个法向量，则n·\o(B一BM一》 0,即2x=0,x十y十z=0,) 令z=-1,则y=1,所以n=(0,1,一1)，所以点P到平面MAB的距离d=BPnl =2. 答案：2 5(2020·全国卷I)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， AE为底而直径，AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一 点，P0=6)6DO. (I)证明：PA⊥平面PBC: (2)求二面角B-PCE的余弦值， 解：(1)证明：设DO=a,由题设可得PO=6)6a,AO=3)3a,AB=a,PA=PB=PC= 2)2a.因此PA2+PB2=AB2,从而PA⊥PB.又PA2+PC2=AC2,故PA⊥PC.因为PBOPC=P, PBC平面PBC,PCC平面PBC,所以PA⊥平面PBC 2)以0为坐标原点，一一的方向为轴正方向，为单位长度， 建立如图所示的空间直角坐标系O-z 由题设可得E(0,1,0),A(0,一1,0)，Clalvs4aco1(-M0r(312),0, P\a\vs4al\co1(0,0,\f(r(2)2). 所以 =lals4lalcol(-V(r(312).0. a\vs4\al\co1(0,-1,f(r(2)2). 设m=(c,y,)是平面PCE的法向量， 则m·\o(EP-EC一》=0，即-y+f0r(22r312y=0. ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教铺·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 可取m=, 由(1)知 =a\vs4\al\col(0,1,\f(r(2)2)是平面PCB的一个法向量，记n= ,则cosn,m=n·mn·|m=5)5. 所以二面角B-PC-E的余弦值为5)5. 6.如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平