课时验收评价(20) 利用导数研究函数零点问题（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第1页共2页 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（二十） 利用导数研究函数零点问题 1.己知函数f)=e一x十1x一1. (1)求曲线y=fx)在点(0，fO)处的切线方程； (2)判断函数)的零点的个数，并说明理由。 解：(1)由f)=e-x+1x-1→fx)=er+2x-12→f0)=3, 而0=2，所以该函数在点(0，f0)处的切线方程为y一2=3x一0)→3x一y十2=0， (2)函数f)的定义城为（一0,1）U(1,+∞)， (1)可知fx)=er+2x-12, 当x∈（一o,1)时，f(x>0,f)单羽递增， 因为f-2f0)=\a\vs4\al\co1(e-2-\f(13)2=2alvs4 alco1(f(113)<0,所以函 数)在x∈（一0,1）上有唯一零点： 当x∈(1，十o)时，f(x>0,fx)单羽递增， 因为f2a\vs4\al\co1(f(54)=(e2-3)\a\vs4\al\co1(e\f(54)-9)<0,所以函 数fx)在x∈(1，十o)上有唯一零点， 所以函数)有2个零点. 2.己知函数)=x3十x2十ax十b. (①)当a=一1时，求函数x)的单调递增区间； (2)若函数f)的图象与直线y=ax恰有两个不同的交点，求实数b的值. 解：(1)当a=-1时，f)=x3+x2一x十b,则fw)=3x2+2x-1,由fx>0,得x<一1 或°13，所以函数fw)的单调递增区间为(-o,-1)和\a\vs4\al1\col1(f(13),+o). (2)函数fx)的图象与直线y=ax恰有两个不同的交点，等价于fx)一ar=0有两个不等 的实根.令gx)=x)一ax=x3+x2+b,则g'(w)=3x2+2x.由g'c>0,得x<-23或x0: 由g'(x<0,得-23<x<0. 所以函数g()在\a\vs4\al\co1(-o∞，-1f(23)和(0，+o四)上单调递增，在\ a\vs4\al\co1(-\f(23),0)上单调递减. 所以当x=-23时，函数g(x)取得极大值g\a\vs4\al\col(-1f(23)=427+b:当x =0时，函数g(r)取得极小值为g(0)=b.要满足题意，则需g\a\vs4\al八col(一1f(23))= 427+b=0或g(0)=b=0,所以b=-427或b=0. 3.(2020全国Ⅲ卷)设函数fx)=x3+bx十c,曲线y=fx)在点avs4 aRco1(f(1rc2))处 的切线与y轴垂直. (1)求b: (2)若x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：fx)所有零点的绝对值都不大于1. ·独家授权侵权必究· 第2页共2页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解：(1)Px)=3x2+b.依题意得f八a\vs4\al\co1(个f(12))=0,即34+b=0.故b=-34. (2)证明：(1)知f)=x3-34r十c,fw)=3x2-34令f()=0,解得x=-12或x=12. 当x变化时，fx),f)的变化情况如下表： \a\vs4\al\col( aws4alco1(- \a\vs4\al\col(\ -12 12 -∞，-1f(12) M(112) f(12),+∞) f(x) 0 0 + c+14 c-14 因为1)=f八a\vs4\a1八co1(-1f(12)=e+14,所以当c<-14时，f只有大于1的 零点.因为f-1)=fa\vs4\al\col(f(12))=c-14,所以当c>14时，f9只有小于-1 的零点.由题设可知-14c≤14.当c=一14时，f)只有两个零点一12和1：当c=14时， f)只有两个零点-1和12：当一14<c<14时，f有三个零点，x2,5,且1∈ a\vs4\al\col(-1,-\f(12)),x2E lalvs4lalcol(-(f(112),xE\ a\vs4\al\col(f(12),1).综上，若fx)有一个绝对值不大于1的零点，则fx)所有零点的 绝对值都不大于1. 4.设a,b为实数，且a>1,函数fx)=a-bx十ex∈). (1)求函数fx)的单调区间. (2)若对任意b>2e2,函数fx)有两个不同的零点，求a的取值范围. 解：(1)由题意，得fw)=na一b.当bs0时，fx)>0恒成立，所以函数f)的单调递 增区间为R,无单调递减区间：当b>0时，令f(x)>0,解得x>log,bln a,所以函数f (c)的单调递增区间为\a\vs4\al\col(1oga\f(blna),十∞)，单调递减区间为\ a\vs4\al\col(-o,loga\