课时验收评价(19) 利用导数研究不等式恒成立（Word练习）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第1页共3页 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（十九） 利用导数研究不等式恒成立 1.已知函数fx)=x2十ax十4x0) (1)若fx)为奇函数，求a的值： (2)若x)在3，十∞)上恒大于0，求a的取值范围， 解：()由趣意知，x)的定义域关于原点对称， 若f)为奇函数，则f一x)=x2-ax十4一x=一fw), 即x2-ax十4-x=一x2+ax+4x,解得a=0. (2)由fx)=x2+ax十4x得，fx)=1一4x2, .在3，+o)上fP0, f)在3，十o)上单调递增， x)在3，+o)上恒大于0只要3)大于0即可，即3a十13>0，解得a>-133, 枚a的取值范用为八a\vs4\al\co1(-1f(133),+o). 2.已知函数f)=e-12x2,g)=ax+1(a∈R) ()求fx)在x=0处的切线方程： (2)当x∈0，十o)时，fx2g()恒成立，求a的取值范围 解：(1)函数)=e-122,0)=1,切点为0,1)， f(x)=e-x,..k=f(0)=1, )在x=0处的切线方程为y一1=x,即x一y十1=0 (2)令h)=f)-ge)=e-12r2-ax-1,h(0=0, h'x)=e-x一a,设kx)=h'e)=e-x一a,k'x)=e-1, x∈0，十∞)，x2k'(0=0,k(x)在x∈0，+)上单谓递增， 即h'x)在x∈0，十o)上单调递增，h'(0=1一a, 当a≤1时，h'(x21一a20,∴.h(c)在x∈0，十o)上单调递增， .h(2h(0)=0, .当x∈0，+o)时，fx)≥gx)恒成立. 当a>1时，h'(0=1一a0, ,函数y=e一x一a在(0，十o)上存在唯一的零点 .函数hx)在区间(0，x)上单调递减，h(x)<h(0)=0,不符合题意，舍去. 综上可得，a的取值范围是（一0,1. 3.已知函数fx)=nx十mx,其中m∈R ()讨论fx)的单调性： (2)若Vx∈0，十ao),xx2-2x,求m的最大值 ·独家授权侵权必究 第2页共3页 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解：(1)fx)=1十mxx(>0), 当m20时，f>0,当x>0时恒成立，fx)在(0，+∞）上单调递增： 当m0时，令fP0,得0<x<一1m,令fx)<0,得之-1m, .fx)在\a\vs4\al\co1(0,-\f(1m)上单谓递增，在\a\vs4\al小co1(-1f(1m),+ ∞)上单调递减， 综上所述，当m20时，f)在0，+上单调递增： 当m0时，fx)在\a\vs4\alco1(0,-\f(1m))上单调递增，在\a\vs4\al\co1(-V f(1m),+∞)上单调递减. (2)依题意得Inx十mx≤x2-2x对任意x∈(0，十四)恒成立， 即m≤x2-2x一1nxx对任意x∈(0，十)恒成立， 令g()=x2-2x-1nxx(o0),则g'x)=x2+1nx-1x2, 令h(x)=x2十lnx一1，则h(x)在(0，+0)上单调递增， ,h(1)=0,.当x∈(0,1)时，h(x)<0,即g'()<0;当x∈(1，+oo)时，h(>0,即g'x) >0, gx)在(0,1)上单调递减，在(1，十o)上单调递增，gx)血=g(1)=一1， .m≤一1，故m的最大值为一1. 4.已知函数fx)=ax-a2lnx-3,其中a0. (1)求函数f)的单调区间： (2)若x)十3x一1≥0对任意x∈1，十o)恒成立.，求实数a的取值范围. 解：()函数f)的定义域为0，十∞)， f(x)=a-a2x=a 2x-1 2x. ①当a>0时，令fx)>0,可得之12，此时函数x)的增区间为\ a\vs4\al\co1(f(12),+o∞)，减区间为a\vs4\al\col(0,\f(12)). ②当a<0时，令fxP0,可得0x<12,此时函数fx)的增区间为八a\vs4\aI\col(0,\ f(12)),减区间为八a\vs4\al\co1(f(12),+∞). 综上所述：当a>0时，函数fx)的增区间为八a\vs4\al\col(f(12),十o),减区间为 \a\vs4\al\co1(0,f(12)):当a<0时，函数fx)的增区间为\a\vs4\al\co1(0,\ f(12),减区间为a\vs4\alco1(f(12),+o). (2)fx)+3x-120在x∈[1，+o)上恒成立，则ax2-a2xln之1在x∈1，十oo上恒成 立， 即a\a\vs4al\col(x2-\f(12)xln)≥1在x∈[1，+o)上恒成立. 令g(